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第1篇 高等数学2

1.1函数2

1.1.1求两类函数的表达式2

题型1.1.1.1已知一函数求其反函数的表达式2

题型1.1.1.2求与复合函数有关的函数表达式2

1.1.2函数的奇偶性4

题型1.1.2.1判别（证明）几类函数的奇偶性4

题型1.1.2.2奇、偶函数性质的应用6

1.1.3判别（证明）函数的周期性7

1.1.4判定函数的有界性9

题型1.1.4.1判定在有限开区间内连续函数的有界性9

题型1.1.4.2判定无穷区间内连续函数的有界性10

题型1.1.4.3判定分段连续函数的有界性10

习题1.111

1.2极限、连续13

1.2.1极限的概念与基本性质13

题型1.2.1.1正确理解极限定义中的“ε-N”、“ε-δ、“ε-X”语言的含义13

题型1.2.1.2正确区别无穷大量与无界变量13

题型1.2.1.3正确运用极限的保序性、保号性15

题型1.2.1.4正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限15

题型1.2.1.5正确理解乘积极限的存在性16

题型1.2.1.6正确理解复合函数极限的存在性17

1.2.2求未定式极限17

题型1.2.2.1求0/0型或∞/∞型极限17

题型1.2.2.2求0·∞型极限20

题型1.2.2.3求∞-∞型极限21

题型1.2.2.4求幂指函数型（00型、∞0型、1∞型）极限21

1.2.3求数列极限24

题型1.2.3.1求数列通项为n项和的极限24

题型1.2.3.2求无穷多项积的极限26

题型1.2.3.3求有限项之和或之积的数列极限27

题型1.2.3.4求由递推关系式给出的数列的极限27

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限29

题型1.2.4.1求需先考察左、右极限的函数极限29

题型1.2.4.2求含根式差的函数极限31

题型1.2.4.3求含或可化为含指数函数差的函数极限31

题型1.2.4.4求含Inf（x）的函数极限，其中limfx→□（x）=132

题型1.2.4.5求含有界变量因式的函数极限32

题型1.2.4.6求含取整函数的函数极限33

1.2.5求含参变x的函数极限lim？n→∞（n，x）33

题型1.2.5.1求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）或可化为指数函数型F（x）g（n）33

题型1.2.5.2求lim？n→∞（n，x），其中？（n，x）或可化为幂函数型g（n）F（x）34

题型1.2.5.3求lim？t→t0（t，x），其中？（t，x）或可化为F（x）g（t）型或g（t）F（x）型35

题型1.2.5.4求lim？n→∞（n，x）=lim？Fn→∞（n，x）g（x，n）或lim？t→t0（t，x）=limFt→t0（t，x）g（x，t）35

1.2.6已知一极限求其待定常数或另一极限36

题型1.2.6.1已知极限式的极限，求其待定常数36

题型1.2.6.2由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限41

1.2.7比较和确定无穷小量的阶42

题型1.2.7.1比较无穷小量的阶43

题型1.2.7.2确定无穷小量的阶数44

题型1.2.7.3正确运用无穷小量阶的运算法则45

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型45

题型1.2.8.1判断函数的连续性45

题型1.2.8.2求函数的间断点并判断其类型49

1.2.9连续函数性质的两点应用51

题型1.2.9.1证明中值等式命题51

题型1.2.9.2证明方程实根的存在性53

习题1.254

1.3一元函数微分学58

1.3.1导数定义的两点应用58

题型1.3.1.1判断函数在某点的可导性58

题型1.3.1.2求分式函数的极限61

题型1.3.1.3讨论函数性质63

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性64

题型1.3.2.1讨论分段函数的可导性64

题型1.3.2.2讨论分段函数导函数的连续性66

题型1.3.2.3讨论某类特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性67

1.3.3讨论含绝对值函数的可导性67

题型1.3.3.1讨论|f（x）|的可导性67

题型1.3.3.2讨论f（x）=|？（x）|g（x）的可导性68

1.3.4求一元函数的导数和微分69

题型1.3.4.1求复合函数的导数69

题型1.3.4.2求反函数的导数70

题型1.3.4.3求隐函数的导数71

题型1.3.4.4求由参数式确定的函数的导数73

题型1.3.4.5求分段函数的导数74

题型1.3.4.6求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数75

题型1.3.4.7求某些简单函数的高阶导数75

题型1.3.4.8求一元函数的微分78

1.3.5利用连续性、可导性确定待定常数79

题型1.3.5.1利用连续性确定待定常数79

题型1.3.5.2利用可导性确定待定常数81

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题82

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式84

题型1.3.7.1证明中值等式ft（ξ）=0或fn（ξ）=084

题型1.3.7.2证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数85

题型1.3.7.3证明存在ξ∈（a，b），使g（ξ）f′（ξ）+h（ξ）f（ξ）=Q（ξ）85

题型1.3.7.4证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=086

题型1.3.7.5证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=086

题型1.3.7.6证明存在ξ∈（a，b），使f″（ξ）g（ξ）-f（ξ）g″（ξ）=087

题型1.3.7.7证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=087

题型1.3.7.8证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数）88

题型1.3.7.9证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b88

题型1.3.7.10证明含两端点（及其函数值）的中值等式89

题型1.3.7.11证明与定积分有关的中值等式90

1.3.8拉格朗日中值定理的应用91

题型1.3.8.1证明与函数差值（改变量）有关的中值（不）等式92

题型1.3.8.2证明函数与其导函数的关系93

题型1.3.8.3求解与函数差值有关的问题95

题型1.3.8.4求中值的极限位置95

1.3.9利用柯西中值定理证明中值等式96

题型1.3.9.1证明两函数差值（增量）比的中值等式96

题型1.3.9.2证明两函数导数比的中值等式97

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式98

1.3.11泰勒定理的几点应用100

题型1.3.11.1求函数的泰勒展开式100

题型1.3.11.2应用泰勒公式（麦克劳林公式）求极限101

题型1.3.11.3证明含高阶导函数的中值命题102

题型1.3.11.4应用泰勒公式（或麦克劳林公式）证明不等式103

题型1.3.11.5求函数在某点处的高阶导数值105

1.3.12利用导数证明不等式106

题型1.3.12.1证明与函数改变量有关的不等式106

题型1.3.12.2利用函数的导数不等式证明函数不等式107

题型1.3.12.3证明含有或可化为含有均值变量（自变量或函数）的不等式107

题型1.3.12.4已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0108

题型1.3.12.5证明含常数加项的不等式110

题型1.3.12.6证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式111

1.3.13讨论函数性态112

题型1.3.13.1证明函数在某区间上是常数112

题型1.3.13.2证明（判别）函数的单调性113

题型1.3.13.3利用极限式讨论函数是否取得极值114

题型1.3.13.4利用方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点115

题型1.3.13.5利用导数不等式讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点116

题型1.3.13.6利用极值点或拐点讨论函数性质116

题型1.3.13.7求曲线的凹凸区间与拐点117

题型1.3.13.8求函数的单调区间、极值、最值119

题型1.3.13.9求曲线的渐近线122

1.3.14函数性态与函数图形124

题型1.3.14.1利用函数性态作函数图形124

题型1.3.14.2已知函数图形，确定函数或其导函数性质（或图形）126

题型1.3.14.3已知导函数图形，确定原来函数的性态126

1.3.15利用函数性态讨论方程的根127

题型1.3.15.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数127

题型1.3.15.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数127

题型1.3.15.3已知方程根的个数，求其参数的取值范围129

1.3.16一元函数微分学的几何应用130

题型1.3.16.1求平面曲线的切线方程和法线方程130

题型1.3.16.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题133

题型1.3.16.3求解与两曲线相切的有关问题133

题型1.3.16.4求解与平面曲线的曲率有关的问题133

习题1.3134

1.4一元函数积分学138

1.4.1原函数与不定积分的关系138

题型1.4.1.1原函数的概念及其判定138

题型1.4.1.2求分段函数的原函数或不定积分139

题型1.4.1.3利用积分与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题139

1.4.2各类被积函数不定积分的算法140

题型1.4.2.1计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分140

题型1.4.2.2计算简单无理函数的不定积分141

题型1.4.2.3求∫1/（ax+b）kf[1/（ax+b）k-1]dx,其中k（k≠1）为正实数144

题型1.4.2.4求∫f(x)/g（x）dx145

题型1.4.2.5求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的不定积分147

题型1.4.2.6求三角函数的不定积分147

题型1.4.2.7求被积函数含反三角函数的积分149

题型1.4.2.8有理分式函数的积分∫P（x）/Q（x）dx（其中P（x），Q（x）为多项式）的算法149

1.4.3利用定积分性质计算定积分151

题型1.4.3.1利用其几何意义计算定积分151

题型1.4.3.2计算对称区间上的定积分152

题型1.4.3.3计算周期函数的定积分154

题型1.4.3.4利用定积分的常用计算公式求定积分154

题型1.4.3.5计算被积函数含函数导数或已知其导数的函数的积分156

题型1.4.3.6比较和估计定积分的大小157

题型1.4.3.7求解含积分值为常数的函数方程158

题型1.4.3.8计算几类需分子区间积分的定积分158

题型1.4.3.9计算含参数的定积分160

题型1.4.3.10求需换元计算的定积分161

题型1.4.3.11求由定积分表示的变量极限163

1.4.4求解与变限积分有关的问题164

题型1.4.4.1计算含变限积分的极限164

题型1.4.4.2求变限积分的导数166

题型1.4.4.3求变限积分的定积分169

题型1.4.4.4讨论变限积分函数的性态170

1.4.5证明定积分等式171

题型1.4.5.1证明定积分的变换公式171

题型1.4.5.2证明定积分的中值等式173

1.4.6证明积分不等式174

题型1.4.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式174

题型1.4.6.2证明函数及其导函数所满足的积分不等式175

题型1.4.6.3证明∫baf（x）dx（或|∫baf（x）dx|）≤k（或≥k），k为常数176

题型1.4.6.4证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式177

1.4.7计算反常积分178

题型1.4.7.1计算无穷区间上的反常积分178

题型1.4.7.2判别∫+∞adx/xp（a＞0）与∫+∞adx/x（lnx）p（a＞0）的敛散性180

题型1.4.7.3判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛，计算其值181

题型1.4.7.4判别∫badx/（b-x）p与∫ba（dx/（x-a）p的敛散性，如收敛，计算其值183

题型1.4.7.5判别混合型反常积分的敛散性，如收敛，计算其值183

1.4.8定积分的应用185

题型1.4.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积185

题型1.4.8.2已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积），反求该曲线187

题型1.4.8.3计算旋转体体积187

题型1.4.8.4计算旋转体的侧（表）面积190

题型1.4.8.5计算平行截面面积已知的立体体积191

题型1.4.8.6计算平面曲线的弧长191

题型1.4.8.7求解几何应用与最值问题相结合的应用题192

题型1.4.8.8用定积分计算质心（质量中心）195

题型1.4.8.9计算物体沿直线所做的功196

题型1.4.8.10计算压力与引力197

题型1.4.8.11求函数在区间上的平均值200

习题1.4200

1.5多元函数微分学204

1.5.1二（多）元函数微分学中的几个概念204

题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微204

题型1.5.1.2讨论二元函数连续、可偏导及可微之间的关系207

1.5.2计算偏导数和全微分207

题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数207

题型1.5.2.2计算显函数的偏导数208

题型1.5.2.3求抽象复合函数的偏导数209

题型1.5.2.4计算隐函数的偏导数213

题型1.5.2.5作变量代换将偏导数满足的方程变形215

题型1.5.2.6求二元函数的全微分217

1.5.3多元函数微分学的应用218

题型1.5.3.1求二元函数的极值218

题型1.5.3.2求二（多）元函数的条件极值219

题型1.5.3.3求二（多）元函数的最值221

习题1.5223

1.6二重积分225

1.6.1利用二重积分性质求解与二重积分有关的问题225

1.6.2交换积分次序及转换二（累）次积分227

题型1.6.2.1交换二（累）次积分的积分次序227

题型1.6.2.2转换二（累）次积分228

1.6.3用直角坐标系计算二重积分229

题型1.6.3.1计算需根据积分区域选择积分次序的二重积分229

题型1.6.3.2计算需根据被积函数选择积分次序的二重积分229

题型1.6.3.3计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分231

题型1.6.3.4计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分233

题型1.6.3.5分块计算二重积分235

题型1.6.3.6计算无界区域上较简单的二重积分238

1.6.4用极坐标系计算二重积分238

题型1.6.4.1计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分239

题型1.6.4.2计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分239

题型1.6.4.3计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分240

题型1.6.4.4计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分240

题型1.6.4.5计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分241

题型1.6.4.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a，b＞0）上的二重积分241

题型1.6.4.7计算两圆域公共部分上的二重积分242

1.6.5求含二重积分的极限243

习题1.6244

1.7常微分方程247

1.7.1求解一阶线性微分方程247

题型1.7.1.1求解可分离变量的微分方程247

题型1.7.1.2求解齐次微分方程248

题型1.7.1.3求解一阶线性微分方程248

题型1.7.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程251

题型1.7.1.5求解由自变量与因变量的两增量关系给出的一阶方程252

题型1.7.1.6求满足某种性质的一阶线性方程的特解252

1.7.2求解线性微分方程254

题型1.7.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题254

题型1.7.2.2求解几类可降阶的高阶微分方程255

题型1.7.2.3求解常系数齐次线性方程257

题型1.7.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程259

题型1.7.2.5求解欧拉方程263

题型1.7.2.6求解含变限积分的方程263

题型1.7.2.7求解可化为一阶线性微分方程的函数方程264

1.7.3已知特解反求其常系数线性方程265

题型1.7.3.1已知其特解，反求该齐次方程265

题型1.7.3.2已知其特解，反求该非齐次方程266

1.7.4求解微分方程在几何与物理学上的简单应用题267

题型1.7.4.1已知某曲线所围图形的几何量所满足的关系，反求该曲线267

题型1.7.4.2求解与物理量有关的简单应用问题269

习题1.7272

第2篇 线性代数276

2.1计算行列式276

2.1.1计算几类数字型行列式276

题型2.1.1.1计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式276

题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式278

题型2.1.1.3计算行（列）和相等的行列式280

题型2.1.1.4计算范德蒙行列式280

题型2.1.1.5求代数余子式之和的值282

题型2.1.1.6求行列式中含某因子的所有项284

题型2.1.1.7计算三阶行列式284

2.1.2计算抽象矩阵的行列式285

题型2.1.2.1求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值285

题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式286

题型2.1.2.3求满足矩阵方程的某矩阵行列式之值286

题型2.1.2.4已知某矩阵行列式的值，求相关联矩阵的行列式的值287

题型2.1.2.5计算含零子块的四分块矩阵的行列式288

题型2.1.2.6证明方阵的行列式等于零或不等于零288

题型2.1.2.7利用特征值计算矩阵行列式290

2.1.3克莱姆法则的应用290

习题2.1292

2.2矩阵295

2.2.1证明矩阵的可逆性295

题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵295

题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B297

题型2.2.1.3证明和（差）矩阵可逆298

题型2.2.1.4证明含逆矩阵的矩阵可逆，并求其逆矩阵298

题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵299

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法299

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题302

题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式（参阅题型2.1.2.2）302

题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵303

题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩304

题型2.2.3.4求伴随矩阵304

2.2.4计算n阶矩阵的高次幂306

题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂306

题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂307

题型2.2.4.3计算能分解为两个可交换矩阵之和的矩阵的高次幂308

题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂308

2.2.5求矩阵的秩309

题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩309

题型2.2.5.2求抽象矩阵的秩310

题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数313

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例314

2.2.7求解矩阵方程315

题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程315

题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程317

题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程318

题型2.2.7.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵320

2.2.8初等变换与初等矩阵关系的应用320

题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换320

题型2.2.8.2利用初等矩阵逆矩阵的性质计算矩阵321

2.2.9判别两同型矩阵等价的有关问题323

习题2.2324

2.3向量327

2.3.1判别向量组线性相关、线性无关327

题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题和填空题327

题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性328

题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性329

题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数333

2.3.2判定一向量能否由向量组线性表示335

题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示335

题型2.3.2.2判定一抽象向量能否由向量组线性表出336

题型2.3.2.3判定一向量组能否由另一向量组线性表示337

2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法338

2.3.4向量组的秩与极大无关组341

题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大无关组341

题型2.3.4.2将向量用极大无关组线性表示342

题型2.3.4.3证明与抽象向量组的秩有关的问题343

题型2.3.4.4证一向量组为一极大无关组344

2.3.5已知一向量（组）线性表示情况，求其所含待定常数345

2.3.6将线性无关向量组正交规范化346

习题2.3346

2.4线性方程组350

2.4.1判定线性方程组解的情况350

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况350

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况352

2.4.2由其解反求方程组或其参数354

题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数354

题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中的参数355

题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵355

2.4.3证明一组向量为基础解系的常用方法357

2.4.4基础解系和特解的简便求法359

2.4.5求解含参数的线性方程组360

题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组360

题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的线性方程组364

题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组364

题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解366

2.4.6求抽象线性方程组的通解366

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解366

题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解367

题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求（证明）其解369

2.4.7求两线性方程组的非零公共解370

题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解370

题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解372

题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题372

习题2.4373

2.5矩阵的特征值、特征向量378

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量378

题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量378

题型2.5.1.2求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量380

2.5.2由特征值和（或）特征向量反求其矩阵382

题型2.5.2.1由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数382

题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵384

题型2.5.2.3计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵386

2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量386

2.5.4判别同阶方阵是否相似388

题型2.5.4.1判别方阵是否可对角化388

题型2.5.4.2判别两同阶方阵是否相似390

2.5.5相似矩阵性质的简单应用391

2.5.6与两矩阵相似有关的计算393

题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1 AP=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值393

题型2.5.6.2 A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1 AQ=QT AQ=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…λn为A的特征值394

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵A395

题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1 AP=B396

习题2.5396

2.6二次型399

2.6.1求二次型的矩阵及其秩399

题型2.6.1.1用矩阵形式表示二次型399

题型2.6.1.2求二次型的秩400

2.6.2化标准形及由标准形确定二次型400

题型2.6.2.1化二次型为标准形401

题型2.6.2.2将实对称矩阵合同对角化405

题型2.6.2.3已知二次型的标准形，确定该二次型407

2.6.3判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性407

题型2.6.3.1判别具体给定的二次型或其矩阵的正定性408

题型2.6.3.2判别或证明抽象二次型（实对称矩阵）的正定性408

题型2.6.3.3确定待定常数或其取值范围使二次型或其矩阵正定410

2.6.4判别两矩阵是否合同411

题型2.6.4.1判别（证明）两实对称矩阵合同411

题型2.6.4.2判别（证明）两矩阵不合同412

2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系412

习题2.6414

习题答案与提示416