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篇前篇 高数解题的四种思维定式1

第一篇 高等数学7

第一章 函数·极限·连续7

一、函数7

1．函数的定义7

2．函数的定义域的求法8

3．函数的基本性质9

4．分段函数14

5．初等函数14

二、函数的极限及其连续性18

1．概念18

2．重要定理与公式20

三、极限的求法28

1．未定式的定值法28

2．类未定式32

3．数列的极限33

4．极限式中常数的确定（重点）38

5．杂例41

习题一45

第二章 导数与微分48

一、定义·定理·公式48

1．导数与微分的定义48

2．定理50

3．导数与微分的运算法则50

4．基本公式51

5．弧微分51

二、各类函数导数的求法52

1．复合函数微分法52

2．参数方程微分法53

3．隐函数微分法54

4．幂指函数微分法55

5．函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法56

6．分段函数微分法56

三、高阶导数57

1．定义与基本公式57

2．高阶导数的求法58

习题二61

第三章 不定积分64

一、不定积分的概念与性质64

1．不定积分的概念64

2．基本性质64

3．基本公式65

二、基本积分法66

1．第一换元积分法（也称凑微分法）66

2．第二换元积分法70

3．分部积分法74

三、各类函数积分的技巧及分析80

1．有理函数的积分80

2．简单无理函数的积分81

3．三角有理式的积分83

4．含有反三角函数的不定积分86

5．抽象函数的不定积分87

6．分段函数的不定积分88

习题三89

第四章 定积分及广义积分93

一、定积分性质及有关定理与公式93

1．基本性质93

2．定理与公式96

二、定积分的计算法100

1．牛顿—莱布尼兹公式100

2．定积分的换元积分法100

3．定积分的分部积分法102

三、特殊形式的定积分计算103

1．分段函数的积分103

2．被积函数带有绝对值符号的积分105

3．被积函数中含有“变上限积分”的积分106

4．对称区间上的积分108

5．被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分109

6．由三角有理式与其它初等函数通过四则或复合而成的函数的积分110

7．杂例112

四、定积分有关命题证明的技巧114

1．定积分等式的证明114

2．定积分不等式的证明122

习题四（1）127

五、广义积分130

1．基本概念及判敛法则130

2．广义积分的计算及判敛131

习题四（2）135

第五章 中值定理的证明技巧137

一、连续函数在闭区间上的性质137

1．基本定理137

2．有关闭区间上连续函数的命题的证法137

习题五（1）139

二、微分中值定理及泰勒公式140

1．基本定理140

2．泰勒公式141

三、证题技巧分析144

1．欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=0的命题证法144

2．欲证结论：至少？一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k(≠0)及其代数式的证法146

3．欲证结论：在(a,b)内至少？ξ,η,ξ≠η满足某种关系式的命题的证法151

习题五（2）151

第六章 常微分方程153

一、基本概念153

1．微分方程153

2．微分方程的阶153

3．微分方程的解153

二、一阶微分方程154

1．各类一阶方程解法一览表154

2．解题技巧及分析155

三、可降阶的高阶方程163

1．可降阶的高阶方程解法一览表163

2．解题技巧及分析163

四、高阶线性微分方程164

1．二阶线性微分方程解的结构164

2．二阶常系数线性微分方程166

3．n阶常系数线性方程167

4．欧拉方程172

五、微分方程的应用173

1．在几何中的应用173

2．在力学中的应用175

习题六176

第七章 一元微积分的应用179

一、导数的应用179

1．利用导数判别函数的单调增减性179

2．利用导数研究函数的极值与最值180

3．关于方程根的研究186

4．函数作图190

二、定积分的应用193

1．微元法及其应用193

2．平面图形的面积195

3．立体体积197

4．平面曲线的弧长198

5．旋转体的侧面积199

6．变力作功、引力、液体的静压力199

习题七201

第八章 无穷级数204

一、基本概念及其性质204

二、数项级数判敛法205

1．正项级数∞∑n=1 un(un≥0)敛散性的判别法205

2．交错级数∞∑n=1(-1)n-1un(un＞0)的判敛法210

3．任意项级数211

4．杂例213

三、幂级数217

1．函数项级数的概念217

2．幂级数219

四、无穷级数求和225

1．幂级数求和函数225

2．数项级数求和229

五、傅立叶级数234

1．概念、定理234

2．周期与非周期函数的傅立叶级数236

习题八240

第九章 矢量代数与空间解析几何243

一、矢量的概念及其性质243

1．概念及其运算243

2．矢量之间的关系244

二、平面与直线248

三、投影方程253

四、曲面方程254

柱面与旋转面方程254

习题九258

第十章 多元函数微分学260

一、基本概念及定理与公式260

1．二元函数的定义260

2．二元函数的极限及连续性261

3．偏导数、全导数及全微分262

4．基本定理263

二、多元函数微分法265

1．简单显函数u=f(x,y,z)的微分法265

2．复合函数微分法266

3．隐函数微分法269

三、多元函数微分学在几何上的应用272

1．空间曲线在某点处的切线和法平面方程272

2．空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程273

四、多元函数的极值275

1．概念、定理与公式275

2．条件极值与无条件极值275

习题十281

第十一章 重积分283

一、概念·性质·公式283

1．概念283

2．性质283

3．公式285

二、二重积分的解题技巧287

1．？Df(x,y)dσ的解题程序287

2．极坐标系中积分限的确定288

3．典型例题分析289

三、二重积分的证题技巧296

1．有关等式的证明296

2．二重积分不等式的证明299

四、三重积分的计算301

1．？f(x,y,z)d？的解题程序301

2．坐标系的选择301

3．球面坐标系中积分限的确定302

4．更换积分次序303

5．三重积分计算303

习题十一305

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步310

一、曲线积分的概念及性质310

1．对弧长的曲线积分310

2．对坐标的曲线积分310

3．两种曲线积分之间的关系311

二、曲线积分的理论及计算方法311

1．基本定理311

2．对弧长的曲线积分的计算方法312

3．对坐标的曲线积分∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的计算法313

三、曲面积分的概念与性质319

1．对面积的曲面积分319

2．对坐标的曲面积分319

3．两种曲面积分之间的关系320

四、曲面积分的理论与计算方法320

1．基本定理320

2．对面积的曲面积分的计算法321

3．对坐标的曲面积分的计算法322

五、曲面面积的计算法327

六、场论初步328

1．概念与公式328

2．例题选讲330

习题十二332

第十三章 函数方程与不等式证明334

一、函数方程334

1．利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程334

2．利用极限求解函数方程335

3．利用导数的定义求解方程336

4．利用变上限积分的可导性求解方程336

5．利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解337

6．利用解微分方程的方法求解f(x)338

二、不等式的证明341

1．引入参数法341

2．利用微分中值定理342

3．利用函数的单调增减性（重点）344

4．利用函数的极值与最值345

5．利用函数图形的凹凸性347

6．利用泰勒展开式347

7．杂例349

习题十三350

第二篇 线性代数353

第一章 行列式353

一、行列式的概念353

1．排列与逆序353

2．n阶行列式的定义354

二、性质、定理与公式355

1．行列式的基本性质355

2．行列式按行（列）展开定理358

3．重要公式与结论358

三、典型题型分析359

题型Ⅰ 抽象行列式的计算359

题型Ⅱ 低阶行列式的计算360

题型Ⅲ n阶行列式的计算361

四、杂例367

习题一368

第二章 矩阵371

一、矩阵的概念与运算371

1．矩阵的概念371

2．矩阵的运算371

二、逆矩阵374

1．逆矩阵的概念374

2．利用伴随矩阵求逆矩阵374

3．矩阵的初等变换与求逆375

4．分块矩阵及其求逆376

5．矩阵的秩及其求法377

三、典型题型分析377

题型Ⅰ 求逆矩阵377

题型Ⅱ 求矩阵的高次幂Am379

题型Ⅲ 有关初等矩阵的命题381

题型Ⅳ 解矩阵方程382

题型Ⅴ 求矩阵的秩384

题型Ⅵ 关于矩阵对称、反对称命题的证明385

题型Ⅶ 关于方阵A可逆的证明386

题型Ⅷ 与A的伴随阵A有关联的命题的证明387

题型Ⅸ 关于矩阵秩的命题的证明388

习题二390

第三章 向量395

一、基本概念395

1．向量的概念与运算395

2．向量间的线性关系395

3．向量组的秩和矩阵的秩396

4．向量空间397

二、重要定理与公式398

三、典型题型分析399

题型Ⅰ 讨论向量组的线性相关性399

题型Ⅱ 有关向量组线性相关性命题的证明402

题型Ⅲ 判定一个向量是否可由一组向量线性表示408

题型Ⅳ 有关向量组线性表示命题的证明409

题型Ⅴ 求向量组的极大线性无关组411

题型Ⅵ 有关向量组或矩阵秩的计算与证明413

题型Ⅶ 与向量空间有关的命题417

习题三419

第四章 线性方程组422

一、概念、性质、定理422

1．克莱姆法则422

2．线性方程组的基本概念422

3．线性方程组解的判定423

4．非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系423

5．线性方程组解的性质424

6．线性方程组解的结构424

二、典型题型分析425

题型Ⅰ 基本概念题（解的判定、性质、结构）425

题型Ⅱ 含有参数的线性方程组解的讨论428

题型Ⅲ 讨论两个方程组的公共解433

题型Ⅳ 有关基础解系的证明435

题型Ⅴ 综合题436

习题四440

第五章 特征值和特征向量444

一、概念与性质444

1．矩阵的特征值和特征向量的概念444

2．特征值与特征向量的计算方法444

3．相似矩阵及其性质445

4．矩阵可相似对角化的充要条件445

5．对称矩阵及其性质445

二、重要公式与结论446

三、典型题型分析447

题型Ⅰ 求数值矩阵的特征值与特征向量447

题型Ⅱ 求抽象矩阵的特征值、特征向量448

题型Ⅲ 特征值、特征向量的逆问题449

题型Ⅳ 相似的判定及其逆问题451

题型Ⅴ 判断4是否可对角化452

题型Ⅵ 综合应用问题455

题型Ⅶ 有关特征值、特征向量的证明题460

习题五462

第六章 二次型465

一、基本概念与定理465

1．二次型及其矩阵表示465

2．化二次型为标准型465

3．用正交变换法化二次型为标准形466

4．二次型和矩阵的正定性及其判别法466

二、典型题型分析469

题型Ⅰ 二次型所对应的矩阵及其性质469

题型Ⅱ 化二次型为标准形470

题型Ⅲ 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数473

题型Ⅳ 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明474

习题六477

第三篇 概率论与数理统计479

第一章 随机事件和概率479

一、基本概念、性质与公式479

1．随机试验和随机事件479

2．事件的关系及其运算479

3．事件的概率及其性质481

4．条件概率与事件的独立性482

5．重要概型483

6．重要公式484

二、典型题型分析485

题型Ⅰ 古典概型与几何概型485

题型Ⅱ 事件的关系和概率性质的命题488

题型Ⅲ 条件概率与积事件概率的计算490

题型Ⅳ 全概率公式与Bayes公式的命题491

题型Ⅴ 有关Bernoulli概型的命题494

习题一496

第二章 随机变量及其分布499

一、基本概念、性质与公式499

1．概念与公式一览表499

2．重要的一维分布502

3．重要的二维分布503

二、典型题型分析504

题型Ⅰ 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题504

题型Ⅱ 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数508

题型Ⅲ 求一维随机变量函数的分布511

题型Ⅳ 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查514

题型Ⅴ 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论516

题型Ⅵ 求两个随机变量的简单函数的分布523

习题二528

第三章 随机变量的数字特征534

一、基本概念、性质与公式534

1．一维随机变量的数字特征534

2．二维随机变量的数字特征536

3．几种重要的数学期望与方差537

4．重要公式与结论538

二、典型题型分析538

题型Ⅰ 求一维随机变量的数字特征538

题型Ⅱ 求一维随机变量函数的数学期望542

题型Ⅲ 求二维随机变量及其函数的数字特征545

题型Ⅳ 有关数字特征的证明题555

题型Ⅴ 应用题556

习题三558

第四章 大数定律和中心极限定理562

一、基本概念与定理562

1．切比雪夫不等式562

2．中心极限定理562

3．重要公式与结论563

4．注意563

二、典型题型分析563

题型Ⅰ 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题563

题型Ⅱ 有关中心极限定理的命题565

习题四568

第五章 数理统计的基本概念569

一、基本概念、性质与公式569

1．几个基本概念569

2．三个抽样分布——X2分布、t分布与F分布570

3．正态总体下常用统计量的性质570

4．重要公式与结论571

二、典型题型分析572

题型Ⅰ 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量572

题型Ⅱ 求统计量的分布573

习题五575

第六章 参数估计577

一、基本概念、性质与公式577

1．矩估计与极大似然估计577

2．估计量的评选标准578

3．区间估计579

4．重要公式与结论580

二、典型题型分析581

题型Ⅰ 求矩估计和极大似然估计581

题型Ⅱ 评价估计的优劣585

题型Ⅲ 区间估计或置信区间的命题586

习题六589

第七章 假设检验591

一、基本概念与公式591

1．显著性检验的基本思想591

2．假设检验的基本步骤591

3．两类错误591

4．正态总体未知参数的假设检验592

5．假设检验与区间估计的联系592

二、典型题型分析593

题型Ⅰ 正态总体的均值和方差的假设检验593

题型Ⅱ 有关两类错误的命题594

习题七595