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第一章 函数与极限1

1.1 函数的概念1

一、函数的定义1

二、函数的表示法和函数记号2

三、函数的定义域4

四、函数的几种特性5

习题1-17

1.2 反函数、复合函数、初等函数8

一、反函数8

二、复合函数10

三、基本初等函数10

四、初等函数11

习题1-211

1.3 极限的概念12

一、数列的极限12

二、函数的极限15

习题1-319

1.4 极限的运算法则19

一、无穷小与无穷大19

二、极限运算法则21

习题1-427

1.5 两个重要极限27

习题1-531

1.6 无穷小的比较32

习题1-633

1.7 函数的连续性34

一、函数连续性的概念34

二、函数的间断点36

三、连续函数的运算37

四、初等函数的连续性39

五、闭区间上连续函数的性质40

习题1-741

第二章 导数与微分43

2.1 导数的概念43

一、变化率问题举例43

二、导数的定义44

三、导数的几何意义47

四、函数的可导性与连续性之间的关系48

习题2-148

2.2 基本初等函数的导数50

一、根据导数的定义可直接求出几个基本初等函数的导数50

二、反函数的导数52

三、导数基本公式53

习题2-253

2.3 函数的和、差、积、商的求导法则54

一、函数和、差的求导法则54

二、常数与函数乘积的求导法则55

三、函数积的求导法则56

四、函数商的求导法则57

习题2-358

2.4 复合函数的求导法则59

习题2-462

2.5 隐函数及由参数方程确定的函数的导数63

一、隐函数的导数63

二、由参数方程确定的函数的导数65

习题2-566

2.6 函数的微分67

一、微分的定义67

二、微分的几何意义70

三、微分公式与微分运算法则70

四、微分的应用72

习题2-674

2.7 高阶导数与高阶微分75

一、高阶导数75

二、高阶微分76

习题2-777

第三章 中值定理与导数的应用79

3.1 中值定理79

一、罗尔定理79

二、拉格朗日中值定理80

三、柯西中值定理82

习题3-183

3.2 罗必塔法则84

习题3-288

3.3 泰勒公式92

习题3-392

3.4 函数单调性的判定法92

习题3-494

3.5 函数的极值及其求法94

习题3-597

3.6 最大值、最小值问题97

习题3-699

3.7 曲线的凹凸与拐点99

习题3-7102

3.8 函数图形的描绘102

习题3-8106

3.9 用切线法求方程的近似解106

习题3-9108

第四章 不定积分109

4.1 不定积分的概念与性质109

一、原函数与不定积分的概念109

二、基本积分表111

三、不定积分的性质112

习题4-1114

4.2 换元积分法114

一、第一类换元积分法115

二、第二类换元积分法120

习题4-2124

4.3 分部积分法126

习题4-3130

4.4 几种特殊类型函数的积分130

一、有理函数的积分130

二、三角函数的有理式的积分133

三、简单无理函数的积分134

习题4-4136

4.5 积分表的使用137

习题4-5139

第五章 定积分140

5.1 定积分的概念和基本性质140

一、问题的提出140

二、定积分的定义142

三、定积分的几何意义143

四、定积分的性质144

习题5-1146

5.2 微积分基本定理147

习题5-2149

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法150

一、定积分的换元积分法150

二、定积分的分部积分法151

习题5-3153

5.4 广义积分153

一、无穷区间上的广义积分154

二、被积函数有无穷间断点的广义积分155

习题5-4157

第六章 定积分的应用159

6.1 定积分的元素法159

6.2 平面图形的面积161

一、直角坐标情形161

二、极坐标情形163

习题6-2165

6.3 体积166

一、旋转体的体积166

二、平行截面面积为已知的立体的体积168

习题6-3170

6.4 平面曲线的弧长171

一、直角坐标情形171

二、参数方程情形172

习题6-4173

6.5 功水压力174

一、变力沿直线所做的功174

二、水压力177

习题6-5178

6.6 平均值179

一、函数的平均值179

二、均方根181

习题6-6182

第七章 空间解析几何与向量代数184

7.1 向量及其运算184

一、向量的概念184

二、向量的加减法185

三、向量与数量的乘法185

习题7-1186

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示187

一、空间直角坐标系187

二、向量的坐标表示法189

三、向量的模与方向余弦192

习题7-2194

7.3 数量积与向量积194

一、数量积194

二、向量积196

习题7-3197

7.4 平面及其方程198

一、平面的点法式方程198

二、平面的一般方程199

三、有关平面的一些其他问题200

习题7-4201

7.5 空间直线的方程202

一、空间直线的点向式方程202

二、空间直线的参数方程202

三、空间直线的一般方程203

习题7-5204

7.6 空间曲面204

一、曲面方程与球面方程204

二、柱面205

三、旋转曲面206

四、空间曲线207

五、曲线在坐标面上的投影208

六、常见的几种二次曲面209

习题7-6212

第八章 多元函数微分学214

8.1 多元函数的概念214

一、多元函数关系应用举例214

二、二元函数的定义214

三、二元函数的几何意义216

四、二元函数的极限217

五、二元函数的连续性219

习题8-1220

8.2 偏导数与全微分221

一、偏导数221

二、全微分224

习题8-2228

8.3 多元复合函数微分法与隐函数微分法229

一、多元复合函数微分法229

二、隐函数微分法234

习题8-3236

8.4 高阶偏导数237

习题8-4239

8.5 多元函数的极值与最值239

一、极值的定义239

二、极值存在的必要条件240

三、极值存在的充分条件241

四、最大值和最小值242

五、条件极值243

习题8-5246

8.6 偏导数的几何应用247

一、空间曲线的切线与法平面247

二、曲面的切平面与法线249

习题8-6251

选做题251

第九章 多元函数积分学254

9.1 二重积分的概念254

一、二重积分问题举例254

二、二重积分的定义255

三、二重积分的性质256

习题9-1257

9.2 二重积分的计算258

一、直角坐标系下二重积分的计算258

二、二重积分的一般变量替换公式262

三、极坐标系下二重积分的计算264

习题9-2268

9.3 广义二重积分270

习题9-3273

9.4 二重积分的应用274

一、曲面面积274

二、重心276

习题9-4278

选做题278

9.5 三重积分的概念及其计算279

习题9-5283

9.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分284

一、利用柱面坐标计算三重积分284

二、利用球面坐标计算三重积分286

习题9-6290

9.7 含参变量的积分291

习题9-7297

第十章 微分方程298

10.1 微分方程的概念298

一、实践中的微分方程举例298

二、微分方程的基本概念299

三、微分方程解的几何意义300

习题10-1301

10.2 一阶微分方程301

一、可分离变量的微分方程302

二、齐次方程303

三、一阶线性微分方程304

四、应用举例307

习题10-2309

10.3 可降阶的高阶微分方程309

一、y(n)=f(x)型微分方程310

二、y″=f(x，y′)型微分方程310

三、y″=f(y,y′)型微分方程311

习题10-3312

10.4 二阶常系数线性微分方程313

一、二阶常系数齐次线性微分方程313

二、二阶常系数非齐次线性微分方程317

习题10-4321

10.5 若干生长模型选例322

一、单分子生长模型322

二、Gompers函数322

三、Richards函数323

四、相对增长率是时间的减函数323

第十一章 级数324

11.1 级数的概念与性质324

一、级数的概念324

二、级数的基本性质326

三、级数收敛的必要条件326

习题11-1327

11.2 正项级数328

一、正项级数收敛的充分必要条件328

二、正项级数收敛性的判别法329

习题11-2331

11.3 任意项级数331

一、交错级数331

二、绝对收敛与条件收敛333

习题11-3334

11.4 幂级数334

一、幂级数的收敛半径335

二、幂级数的性质336

习题11-4338

11.5 函数的幂级数展开式338

一、泰勒（Taylor）级数338

二、函数展开成幂级数340

三、函数的幂级数展开式的应用343

习题11-5346

11.6 傅立叶级数346

一、三角级数、三角函数系的正交性346

二、函数展开成傅立叶级数349

习题11-6355

11.7 正弦级数和余弦级数356

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数356

二、函数展开成正弦级数或余弦级数359

习题11-7360

11.8 周期为2l的周期函数的傅立叶级数361

习题11-8364

附录 积分表366

习题参考答案377

主要参考文献417