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第一篇 高等数学1

第一章 函数、极限、连续与求极限的方法1

一、本章知识串讲1

二、大纲考查要点诠释1

（一）函数1

（二）极限的概念与性质4

（三）极限的存在与不存在问题5

（四）无穷小及其阶7

（五）函数的连续性及其判断8

（六）求极限的方法10

三、典型题型分析及解题方法与技巧18

题型（一）求反函数18

题型（二）求复合函数18

题型（三）利用函数概念求函数表达式19

题型（四）求0/0型或∞/∞型的极限19

题型（五）求0·∞或∞-∞型的极限21

题型（六）求指数型（1∞，00，∞0）的极限22

题型（七）求含变限积分的不定式的极限23

题型（八） 由极限值确定函数式中的参数23

题型（九）利用夹逼法求极限24

题型（十）求n项和数列的极限25

题型（十一）求n项积数列的极限26

题型（十二）求递归数列的极限26

题型（十三）利用函数极限求数列极限27

题型（十四）无穷小的比较与无穷小的阶的确定28

题型（十五） 讨论函数的连续性与间断点的类型29

题型（十六）极限的证明题30

自测题及参考答案30

第二章 导数与微分概念及其计算32

一、本章知识串讲32

二、大纲考查要点诠释33

（一）一元函数的导数与微分33

（二）多元函数的偏导数、方向导数与全微分（数二不要求）36

（三）按定义求导39

（四）基本初等函数导数表与导数四则运算法则40

（五）复合函数的微分法则41

（六）由复合函数求导法则导出的微分法则43

（七）复合函数求导法则的应用——变量替换下的偏导数计算（数二不要求）48

（八）分段函数求导法48

（九）高阶导数及n阶导数的求法50

（十）方向导数的计算（数二不要求）52

三、典型题型分析及解题方法与技巧53

题型（一）有关一元函数的导数与微分概念的命题53

题型（二） 一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论54

题型（三） 求一元各类函数的导数与微分55

题型（四）变限积分的求导59

题型（五） 一元函数求导与求微分的综合题60

题型（六）求一元函数的n阶导数61

题型（七） 一元分段函数的可导性与导函数的连续性等命题的讨论61

题型（八）有关多元函数偏导数与全微分概念的命题（数二不要求）63

题型（九）求二元（三元）各类函数的偏导数与全微分（数二不要求）64

题型（十）变量替换下方程式的变形（数二不要求）69

题型（十一）求二元、三元函数的梯度与方向导数（数二不要求）70

题型（十二） 有关多元函数的综合题（数二不要求）71

自测题及参考答案72

第三章 一元函数积分及其计算74

一、本章知识串讲74

二、大纲考查要点诠释74

（一）一元函数积分的概念、性质与基本定理74

（二）积分法则78

（三）按函数类的积分法86

（四）广义积分90

三、典型题型分析及解题方法与技巧91

题型（一）有关原函数与定积分概念的命题91

题型（二）积分值的比较或判断积分值的符号92

题型（三）估计积分值93

题型（四）求分段函数的原函数93

题型（五）牛顿—莱布尼兹公式的推广94

题型（六） 各类被积函数不定积分的计算95

题型（七）各类被积函数定积分的计算97

题型（八） 利用若干积分技巧计算积分99

题型（九） 求形如∫b a（f（x）∫x a g（y）dy）dx的积分102

题型（十） 由函数方程求积分102

题型（十一）广义积分的计算103

题型（十二）证明积分等式104

题型（十三）证明积分不等式105

题型（十四）关于变限积分的讨论107

题型（十五）综合题108

自测题及参考答案111

第四章 微分学中的基本定理及其应用112

一、本章知识串讲112

二、大纲考查要点诠释112

（一）连续函数的性质112

（二）微分中值定理及其应用114

（三）利用导数研究函数的变化115

（四）微分中值定理的其它应用120

（五）一元函数的泰勒公式及其应用120

（六）多元函数极值充分判别法 （数二不要求）123

三、典型题型分析及解题方法与技巧124

题型（一） 有关连续函数性质的命题124

题型（二）有关利用导数研究函数的变化的命题126

题型（三） 有关泰勒公式及其应用的命题131

题型（四）讨论函数的零点133

题型（五） 用微分学的方法证明不等式142

自测题及参考答案150

第五章 向量代数和空间解析几何152

一、本章知识串讲152

二、大纲考查要点诠释152

（一）空间直角坐标系152

（二）向量的概念152

（三）向量的运算153

（四）平面方程、直线方程156

（五）平面、直线之间相互关系的问题157

（六）常用二次曲面的方程及其图形159

（七）空间曲线在坐标平面上的投影161

三、典型题型分析及解题方法与技巧162

题型（一）向量的运算162

题型（二）求平面方程163

题型（三）求空间的直线方程164

题型（四）求点、直线、平面间的关系166

题型（五）求投影方程167

题型（六）求曲面方程168

自测题及参考答案168

第六章 多元函数积分及其计算170

一、本章知识串讲170

二、大纲考查要点诠释170

（一）多元函数积分的概念与性质170

（二）在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分174

（三）重积分的变量替换181

（四）如何应用多元函数积分的计算公式及如何简化计算186

三、典型题型分析及解题方法与技巧195

题型（一）积分值的比较与估计195

题型（二）有关多元函数积分的概念 与性质的命题197

题型（三）对称性的应用198

题型（四）交换积分顺序与计算累次积分202

题型（五）两种坐标系中累次积分的转换205

题型（六）二重积分的计算205

题型（七）三重积分的计算209

题型（八）曲线积分的计算212

题型（九）曲面积分的计算214

题型（十）证明题与综合题216

自测题及参考答案219

第七章 多元函数积分学中的基本公式及其应用220

一、本章知识串讲220

二、大纲考查要点诠释220

1．多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式220

2．向量场的通量与散度，环流量与旋度222

3．格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算223

4．用线积分表示平面区域的面积，用面积分表示空间区域的体积227

5．平面上曲线积分与路径无关问题227

三、典型题型分析及解题方法与技巧232

题型（一）格林公式、高斯公式与斯托克斯公式在计算多元函数积分中的应用232

题型（二）平面上第二类曲线积分与路径无关问题与原函数的求法235

题型（三）散度与旋度的计算239

题型（四）综合题240

自测题及参考答案242

第八章 微积分学的应用244

一、本章知识串讲244

二、大纲考查要点诠释244

（一）微分学的几何应用244

（二）积分学应用的基本方法 ——微元分析法249

（三）积分学的几何应用249

（四）一元函数积分学的物理应用258

（五）多元函数积分学的物理应用 （数二不要求）260

（六）一元函数的最大值与最小值问题263

（七）多元函数的最大值与最小值问题 （数二不要求）265

三、典型题型分析及解题疗法与技巧267

题型（一）一元函数微积分的几何应用267

题型（二）一元微积分的物理应用274

题型（三）一元函数的最值问题276

题型（四）综合题278

题型（五） 多元函数微积分的几何应用 （数二不要求）280

题型（六） 多元函数积分学的物理应用 （数二不要求）283

题型（七） 多元函数的最值问题 （数二不要求）287

题型（八）综合题（数二不要求）288

自测题及参考答案289

第九章 无穷级数292

一、本章知识串讲292

二、大纲考查要点诠释292

（一）常数项级数的概念与基本性质292

（二）正项级数敛散性的判定293

（三）交错级数的敛散性判别法295

（四）绝对收敛与条件收敛295

（五）函数项级数的收敛域与和函数295

（六）幂级数的收敛域296

（七）幂级数的运算与和函数的性质297

（八）函数的幂级数展开298

（九）幂级数在近似计算上的简单应用300

（十）傅里叶级数300

三、典型题型分析及解题方法与技巧303

题型（一）常数项级数敛散性的判定303

题型（二）求一般函数项级数的收敛域308

题型（三）幂级数有关同题的讨论309

题型（四）常数项级数求和313

题型（五）有关傅里叶级数的命题315

题型（六）证明题与综合题319

自测题及参考答案322

第十章 微分方程324

一、本章知识串讲324

二、大纲考查要点诠释324

（一）基本概念324

（二）一阶微分方程325

（三）可降阶的高阶方程329

（四）线性微分方程解的性质与结构329

（五）二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程330

（六）二阶常系数非齐次线性方程331

（七）可化为求解微分方程的两类问题332

（八）一阶常系数线性方程组（数二不要求）334

（九）幂级数解法（数二不要求）336

（十）应用问题336

三、典型题型分析及解题方法与技巧337

题型（一）变量可分离的方程与齐次方程的求解337

题型（二）通过简单代换化为变量可分离的方程的求解（数二不要求）337

题型（三） 一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解338

题型（四）全微分方程与可化为全微分方程的求解（数二不要求）339

题型（五） 可降阶的高阶微分方程的求解340

题型（六）二阶线性常系数方程的求解341

题型（七）特殊的变系数二阶线性方程的求解342

题型（八） 已知特解求通解342

题型（九）含变限积分方程的求解343

题型（十）综合题与证明题343

题型（十一）有关微分方程应用题的求解344

自测题及参考答案347

第二篇 线性代数349

第一章 行列式349

一、本章知识串讲350

二、大纲考查要点诠释350

1．行列式的概念350

2．行列式按行（列）展开公式351

3．行列式的性质352

4．几个重要公式353

三、典型题型分析及解题方法与技巧354

题型（一） 有关行列式的概念与性质的命题354

题型（二）行列式的计算356

题型（三）含参数行列式的计算359

题型（四）关于｜ A ｜＝0的证明360

自测题及参考答案361

第二章 n维向量与向量空间363

一、本章知识串讲363

二、大纲考查要点诠释363

1．n维向量的概念与运算363

2．线性组合与线性表出363

3．线性相关与线性无关364

4．线性相关与线性表出365

5．向量组的秩与矩阵的秩365

6．矩阵秩的重要公式366

7．向量空间与子空间367

8．基、维数、坐标367

9．基变换与坐标变换367

10．标准正交基与Schmidt正交化368

三、典型题型分析及解题方法与技巧368

题型（一） 线性组合、线性相关的判别368

题型（二） 线性相关与线性无关的证明371

题型（三）求秩与极大线性无关组375

题型（四）有关秩的证明377

题型（五）关于A＝0的证明378

题型（六）有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题380

题型（七）求过渡矩阵及坐标变换381

题型（八）求标准正交基382

题型（九）有关秩与直线平面的综合题383

自测题及参考答案384

第三章 矩阵及其运算386

一、本章知识串讲386

二、大纲考查要点诠释386

1．矩阵的概念386

2．几类特殊方阵387

3．矩阵的运算387

4．关于逆矩阵的运算规律388

5．关于矩阵转置的运算规律388

6．关于伴随矩阵的运算规律388

7．矩阵A可逆的充分必要条件388

8．初等变换389

9．初等矩阵389

10．矩阵的等价389

11．矩阵方程390

三、典型题型分析及解题方法与技巧390

题型（一）有关矩阵的概念及运算390

题型（二）求方阵的幂390

题型（三）求与已知矩阵可交换的矩阵393

题型（四）有关初等矩阵的命题394

题型（五）矩阵可逆的计算与证明395

题型（六）求解矩阵方程398

自测题及参考答案400

第四章 线性方程组403

一、本章知识串讲403

二、大纲考查要点诠释403

1．线性方程组的各种表达形式403

2．齐次方程组Ax＝0恒有解（必有零解）403

3．如η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系403

4．齐次方程组有非零解的判定404

5．非齐次线性方程组有解的判定404

6．非齐次线性方程组解的结构404

7．克莱姆（Cramer）法则404

三、典型题型分析及解题方法与技巧405

题型（一）线性方程组解的基本概念405

题型（二）线性方程组的求解407

题型（三）含有参数的方程组解的讨论408

题型（四）有关线性方程组命题的证明409

自测题及参考答案411

第五章 n阶矩阵的特征值与特征向量413

一、本章知识串讲413

二、大纲考查要点诠释413

1．矩阵的特征值与特征向量的概念413

2．特征值与特征向量的求法413

3．特征值与特征向量的性质413

4．相似矩阵的概念与性质414

5．矩阵可相似对角化的充分必要条件414

6．化A为对角矩阵A的解题步骤415

7．实对称矩阵必可对角化415

三、典型题型分析及解题方法与技巧415

题型（一）求矩阵的特征值和特征向量415

题型（二） 用特征值和特征向量反求矩阵A420

题型（三）求矩阵A中的参数421

题型（四） n阶矩阵A能否对角化的判定423

题型（五）求矩阵A的相似标准形424

题型（六）相似对角化的应用425

题型（七）有关特征值与特征向量的证明427

自测题及参考答案428

第六章 二次型430

一、本章知识串讲430

二、大纲考查要点诠释430

1．二次型及其矩阵表示430

2．二次型的标准形430

3．惯性定理431

4．合同矩阵431

5．正定二次型与正定矩阵431

三、典型题型分析及解题方法与技巧432

题型（一）有关二次型基本概念的命题432

题型（二）化二次型为标准形433

题型（三） 求解二次型标准形的逆问题436

题型（四）判别二次型的正定性437

题型（五）有关正定性的证明438

题型（六） 有关正定矩阵的综合题439

自测题及参考答案440

第三篇 概率统计初步442

第一章 随机事件与概率442

一、本章知识串讲442

二、大纲考查要点诠释442

（一）随机事件的关系与运算442

（二）随机事件的概率444

（三）条件概率与全概率公式445

（四）事件的独立性与伯努利公式446

三、典型题型分析及解题方法与技巧447

题型（一） 随机事件间的关系与运算447

题型（二）有关概率的定义与性质的命题448

题型（三） 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率452

自测题及参考答案455

第二章 一维随机变量的概率分布及其数字特征458

一、本章知识串讲458

二、大纲考查要点诠释458

1．随机变量458

2．分布函数458

3．离散型随机变量459

4．连续型随机变量459

5．一维随机变量的数字特征460

6．几种重要分布461

7．随机变量函数的概率分布463

三、典型题型分析及解题方法与技巧464

题型（一）确定分布函数、分布律、概率密度中含有的待定常数464

题型（二） 确定随机变量的分布函数、分布律或密度函数465

题型（三） 求随机变量函数的分布467

题型（四）综合应用题469

自测题及参考答案472

第三章 二维随机变量的概率分布及其数字特征475

一、本章知识串讲475

二、大纲考查要点诠释475

1．二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数475

2．二维离散型随机变量475

3．二维连续型随机变量476

4．二维随机变量的条件分布477

5．两个常见的二维连续型随机变量的分布479

6．二维随机变量的协方差、相关系数与相互独立性479

7．随机变量的矩481

8．二维随机变量函数的分布481

三、典型题型分析及解题方法与技巧483

题型（一）有关概率分布的计算483

题型（二） 有关分布函数及密度函数的命题485

题型（三）求两个随机变量函数的分布488

题型（四）关于数字特征的命题491

题型（五）应用题与综合题495

自测题及参考答案496

第四章 大数定律和中心极限定理500

一、本章知识串讲500

二、大纲考查要点诠释500

（一）大数定律500

（二）中心极限定理501

三、典型题型分析及解题方法与技巧502

题型（一）切比雪夫不等式与大数定律502

题型（二）中心极限定理的应用503

自测题及参考答案508

第五章 数理统计的基本概念510

一、本章知识串讲510

二、大纲考查要点诠释510

（一）总体、样本、样本的数字特征510

（二）统计量及抽样分布511

三、典型题型分析及解题方法与技巧514

自测题及参考答案516

第六章 参数估计和假设检验518

一、本章知识串讲518

二、大纲考查要点诠释518

（一）统计估计518

（二）假设检验521

三、典型题型分析及解题方法与技巧522

题型（一）最大似然估计与矩估计522

题型（二） 点估计的无偏性与有效性524

题型（三） 正态总体期望与方差的区间估计526

题型（四）正态总体期望与方差的假设检验528

自测题及参考答案530