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第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开1

1.1 伯努利(Bernoulli)多项式与伯努利数1

1.2 欧勒(Euler)多项式与欧勒数5

1.3 欧勒-麦克洛临(Euler-Maclaurin)公式7

1.4 拉格朗日(Lagrange)展开公式13

1.5 半纯函数的有理分式展开.米塔格-累夫勒(Mittag-Leffler)定理16

1.6 无穷乘积21

1.7 函数的无穷乘积展开.外氏(Weierstrass)定理24

1.8 渐近展开28

1.9 拉普拉斯(Laplace)积分的渐近展开.瓦特孙(Wstson)引理33

1.10 用正交函数组展开35

习题40

第二章 二阶线性常微分方程46

2.1 二阶线性常微分方程的奇点46

2.2 方程常点邻域内的解46

2.3 方程奇点邻域内的解50

2.4 正则解.正则奇点54

2.5 夫罗比尼斯(Frobenius)方法59

2.6 无穷远点61

2.7 傅克斯(Fuchs)型方程62

2.8 具有五个正则奇点的傅克斯型方程64

2.9 具有三个正则奇点的傅克斯方程66

2.10 非正则奇点.正则形式解70

2.11 非正则奇点.常规解和次常规解71

2.12 积分解法.基本原理76

2.13 拉普拉斯型方程和拉氏变换78

2.14 欧勒变换83

习题86

第三章 伽马函数90

3.1 伽马函数的定义90

3.2 递推关系91

3.3 欧勒无穷乘积公式92

3.4 外氏(Weierstrass)无穷乘积94

3.5 伽马函数与三角函数的联系95

3.6 乘积公式96

3.7 围道积分97

3.8 欧勒第一类积分.B函数99

3.9 双周围道积分101

3.10 狄里希累(Dirichlet)积分102

3.11 Г函数的对数微商103

3.12 渐近展开式106

3.13 渐近展开式的另一导出法108

3.14 里曼(Riemann)ζ函数110

3.15 ζ函数的函数方程111

3.16 s为整数时ζ(s,a)之值113

3.17 厄密(Hermite)公式114

3.18 与伽马函数的联系116

3.19 ζ函数的欧勒乘积119

3.20 ζ函数的里曼积分120

3.21 伽马函数的渐近展开的又一导出法121

3.22 ζ函数的计算124

习题125

第四章 超几何函数131

4.1 超几何级数和超几何函数131

4.2 邻次函数之间的关系133

4.3 超几何方程的其他解用超几何函数表示135

4.4 指标差为整数时超几何方程的第二解139

4.5 超几何函数的积分表示145

4.6 超几何函数的巴恩斯(Bar nes)积分表示148

4.7 F(α，β，γ，1)之值151

4.8 在奇点0，1，∞附近的基本解之间的关系.解析开拓155

4.9 γ--α--β，α--β是整数的情形157

4.10 雅可毕(Jacobi)多项式164

4.11 切比谢夫(Чебыщев)多项式168

4.12 二次变换173

4.13 库末(Kummer)公式以及由它导出的求和公式180

4.14 参数大时的渐近展开182

4.15 广义超几何级数186

4.16 两个变数的超几何级数188

4.17 F1和F2的变换公式192

4.18 可约化的情形193

习题198

第五章 勒让德函数206

5.1 勒让德(Legendre)方程206

5.2 勒让德多项式207

5.3 Pn(x)的生成函数.微商表示--罗巨格(Rodrigues)公式210

5.4 Pn(x)的积分表示212

5.5 Pn(x)的递推关系213

5.6 勒让德多项式作为完备正交函数组214

5.7 Pn(x)的零点218

5.8 第二类勒让德函数Qn(x)219

5.9 Qn(x)的递推关系225

5.10 函数？用勒让德函数展开.诺埃曼(Neumann)展开225

5.11 连带勒让德函数P？(x)228

5.12 P？(x)的正交关系230

5.13 P？(x)和Q？(x)的递推关系233

5.14 加法公式235

5.15 球面谐函数Ylm(θ，Φ)238

5.16 普遍的连带勒让德函数P？(z)241

5.17 Q？(z)245

5.18 割缝-∞＜x＜1上P？(x)的定义249

5.19 割缝-∞＜x＜1上Q？(x)的定义252

5.20 P?(z)和P?(z)的其他积分表示256

5.21 加法公式261

5.22 P?(cosθ)和Q？(cosθ)当v→∞时的渐近展开式265

5.23 特种球多项式C？(x)268

习题271

第六章 合流超几何函数288

6.1 合流超几何函数288

6.2 邻次函数间的关系290

6.3 惠泰克(Whittaker)方程和惠泰克函数Mk,m(z)291

6.4 积分表示293

6.5 惠泰克函数Mk,m(z)296

6.6 Mk,m(z)当z→∞时的渐近展开298

6.7 Mk,m(z)的巴恩斯积分表示302

6.8 M±k,m(±z)与M±k±m(±z)的关系.F(α,γ,z)的渐近展开.斯托克斯(Stokes)现象304

6.9 γ(或2m)为整数的情形307

6.10 |α|，|γ|很大时F(α，γ，z)的渐近展开309

6.11 可约化为合流超几何方程的微分方程310

6.12 韦伯(Weber)方程.抛物线柱函数Dn(z)312

6.13 厄密(Hermite)函数和厄密多项式317

6.14 拉革尔(Laguerre)多项式318

6.15 其他一些可用惠泰克函数表示的特殊函数误差函数，不完全伽马函数，对数积分函数，指数积分函数323

习题326

第七章 贝塞耳函数337

7.1 贝塞耳(Bessel)方程及其来源.与合流超几何方程的关系337

7.2 第一类贝塞耳函数J±v(z)2v≠整数339

7.3 半奇数阶贝塞耳函数Jn+?(z)341

7.4 Jv(z)的积分表示343

7.5 整数阶贝塞耳函数Jn(z)350

7.6 第二类塞耳函数Yv(z)355

7.7 第三类贝塞耳函数(汉克耳(Hankel)函数)H？(z)，H？(z)359

7.8 变型(或虚宗量)贝塞耳函数Iv(z)和Kv(z).汤姆孙(Thomson)函数berv(z),beiv(z)等364

7.9 球贝塞耳函数jl(z),nl(z),h(?)z,h？(z)367

7.10 渐近展开，|z|→∞的情形369

7.11 最陡下降法371

7.12 v阶贝塞耳函数在|v|和|z|都很大时的渐近展开375

7.13 加法公式385

7.14 含贝塞耳函数的积分.(一)有限积分389

7.15 含贝塞耳函数的积分.(二)无穷积分391

7.16 诺埃曼(Neumann)展开403

7.17 卡普坦(Kapteyn)展开406

7.18 贝塞耳函数的零点411

7.19 傅里叶(Fourier)-贝塞耳展开415

习题417

第八章 外氏椭圆函数448

8.1 椭圆积分与椭圆函数448

8.2 椭圆积分的周期451

8.3 双周期函数和椭圆函数的一般性质454

8.4 函数p(z)457

8.5 p(z)和p′(z)之间的代数关系460

8.6 函数ζ(z)462

8.7 函数σ(z)464

8.8 外氏椭圆函数的齐次性467

8.9 普遍椭圆函数表达式467

8.10 加法公式472

8.11 三次曲线的坐标用椭圆函数表达475

8.12 四次多项式问题477

8.13 亏数为一的曲线480

习题484

第九章 忒塔函数488

9.1 函数θ(v)488

9.2 函数？k(v)490

9.3 椭圆函数用忒塔函数表达492

9.4 ？k(v)的平方之间的关系493

9.5 加法公式494

9.6 忒塔函数所满足的微分方程495

9.7 一些常数的值497

9.8 勒让德第一种椭圆积分500

9.9 雅氏虚变换503

9.10 朗登(Landen)型变换506

9.11 忒塔函数用无穷乘积表示507

9.12 忒塔函数的对数微商用傅里叶级数展开510

9.13 函数？(u)和H(u)512

习题512

第十章 雅氏椭圆函数520

10.1 雅氏椭圆函数的sn u,cn u ,dn u520

10.2 雅氏椭圆函数的几何表示法521

10.3 全椭圆积分524

10.4 加法公式526

10.5 雅氏椭圆函数的周期性528

10.6 雅氏椭圆函数的极点和零点529

10.7 椭圆函数的变换531

10.8 椭圆积分的演算534

10.9 第二种椭圆积分541

10.10 第三种椭圆积分542

10.11 函数E(u)的性质545

10.12 K和E对k的微分方程和对k的展开式548

10.13 雅氏椭圆函数与忒塔函数的关系551

10.14 雅氏椭圆函数用无穷乘积和傅里叶级数表达556

习题559

第十一章 拉梅函数565

11.1 椭球坐标565

11.2 坐标用椭圆函数表达568

11.3 拉梅(Lemé)方程570

11.4 四类拉梅函数573

11.5 椭球谐函数579

11.6 尼文(Niven)的表达式581

11.7 关于拉梅多项式的零点586

11.8 第二种拉梅函数587

11.9 广义拉梅函数589

11.10 拉梅函数的积分方程593

11.11 椭球谐函数的积分表达式596

习题598

第十二章 马丢函数601

12.1 马丢(Mathieu)方程601

12.2 解的一般性质.基本解602

12.3 夫洛开(Floquet)解604

12.4 马丢方程的周期解606

12.5 夫洛开解的傅里叶展开607

12.6 本征值λ(q)的计算公式610

12.7 马丢函数cem(z)和sem(z)613

12.8 λv(q)依q的幂级数展开617

12.9 当q小的时候马丢函数cem(z),sem(z)的傅里叶展开620

12.10 无穷行列式622

12.11 希耳(Hill)方程623

12.12 马丢方程的稳定解与非稳定解.稳定区与非稳定区628

12.13 λ>>q＞0时马丢方程的近似解630

12.14 马丢函数的积分方程634

习题636

附录一 三次方程的根645

附录二 四次方程的根647

附录三 正交曲面坐标系649

参考书目667

符号668

索引673

外国人名对照索引678

出版后记681