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第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开1

1.1. 伯努利(Bernoulli)多项式与伯努利数1

1.2. 欧勒(Euler)多项式与欧勒数6

1.3. 欧勒-麦克洛临(Euler-Maclaurin)公式9

1.4. 拉格朗日(Lagrange)展开公式16

1.5. 半纯函数的有理分式展开。米塔格-累夫勒(Mittag-Leffler)定理19

1.6. 无穷乘积24

1.7. 函数的无穷乘积展开。外氏(Weierstrass)定理28

1.8. 渐近展开33

1.9. 拉普拉斯(Laplace)积分的渐近展开。瓦特孙(Watson)引理38

1.10. 用正交函数组展开41

习题46

第二章 二阶线性常微分方程53

2.1. 二阶线性常微分方程的奇点53

2.2. 方程常点领域内的解53

2.3. 方程奇点领域内的解57

2.4. 正则解。正则奇点62

2.5. 夫罗比尼斯(Frobenius)方法68

2.6. 无穷远点71

2.7. 傅克斯(Fuchs)型方程72

2.8. 具有五个正则奇点的傅克斯型方程74

2.9. 具有三个正则奇点的傅克斯型方程76

2.10. 非正则奇点。正则形式解82

2.11. 非正则奇点。常规解和次常规解85

2.12. 积分解法。基本原理90

2.13. 拉普拉斯型方程和拉氏变换93

2.14. 欧勒变换97

习题101

第三章 伽马函数105

3.1. 伽马函数的定义105

3.2. 递推关系106

3.3. 欧勒无穷乘积公式107

3.4. 外氏(Weierstrass)无穷乘积109

3.5. 伽马函数与三角函数的联系110

3.6. 乘积公式112

3.7. 围道积分113

3.8. 欧勒第一类积分。B函数115

3.9. 双周围道积分118

3.10. 狄里希累(Dirichlet)积分119

3.11. Γ函数的对数微商120

3.12. 渐近展开式124

3.13. 渐近展开式的另一导出法126

3.14. 里曼(Riemann)ζ函数128

3.15. ζ函数的函数方程130

3.16. s为整数时ζ(s,a)之值132

3.17. 厄密(Hermite)公式132

3.18. 与伽马函数的联系135

3.19. ζ函数的欧勒乘积138

3.20. ζ函数的里曼积分139

3.21. 伽马函数的渐近开展的又一导出法141

3.22. ζ函数的计算144

习题145

第四章 超几何函数152

4.1. 超几何级数和超几何函数152

4.2. 邻次函数之间的关系154

4.3. 超几何方程的其他解用超几何函数表示156

4.4. 指标差为整数时超几何方程的第二解161

4.5. 超几何函数的积分表示167

4.6. 超几何函数的巴恩斯(Barnes)积分表示172

4.7. F(α，β，γ，Ι)之值175

4.8. 在奇点0，1，∞附近的基本解之间的关系。解析开拓178

4.9. γ-α-β，α-β是整数的情形181

4.10. 雅可毕(Jacobi)多项式190

4.11. 切比谢夫(Чебыщев)多项式194

4.12. 二次变换199

4.13. 库末(Kummer)公式以及由它导出的求和公式207

4.14. 参数大时的渐近展开209

4.15. 广义超几何级数213

4.16. 两个变数的超几何级数215

4.17. F1和F2的变换公式220

4.18. 可约化的情形222

习题227

第五章 勒让德函数235

5.1. 勒让德(Legendre)方程235

5.2. 勒让德多项式237

5.3. Pn(x)的生成函数。微商表示--罗巨格(Rodrigues)公式240

5.4. Pn(x)的积分表示242

5.5. Pn(x)的递推关系243

5.6. 勒让德多项式作为完备正交函数组244

5.7. Pn(x)的零点249

5.8. 第二类勒让德函数Qn(x)250

5.9. Qn(x)的递推关系256

5.10. 函数(x-t)-1用勒让德函数展开。诺埃曼(Neumann)展开257

5.11. 连带勒让德函数P？(x)260

5.12. P？(x)的正交关系262

5.13. P？(x)和Q？(x)的递推关系266

5.14. 加法公式268

5.15. 球面谐函数Ylm(θ，?)271

5.16. 普遍的连带勒让德函数P？(z)274

5.17. Q？(z)279

5.18. 割缝-∞<x<1上P？(x)的定义284

5.19. 割缝-∞<x<1上Q？(x)的定义287

5.20. Pv(z)和P？(z)的其他积分表示291

5.21. 加法公式297

5.22. P？(cosθ)和Q？(cosθ)当v→∞时的渐近展开式301

5.23. 特种球多项式C？(x)305

习题308

第六章 合流超几何函数327

6.1. 合流超几何函数327

6.2. 邻次函数间的关系330

6.3. 惠泰克(Whittaker)方程和惠泰克函数Mk,m(z)331

6.4. 积分表示332

6.5. 惠泰克函数Wk,m(z)336

6.6. Wk,m(z)当z→∞时的渐近展开339

6.7. Wk,m(z)的巴恩斯积分表示342

6.8. W±k,m(±z)与M±k,±m(±z)的关系。F(α，γ,z)的渐近展开。斯托克斯(Stokes)现象345

6.9. γ(或2m)为整数的情形348

6.10. |α|，|γ|很大时F(α，γ,z)的渐近展开351

6.11. 可约化为合流超几何方程的微分方程352

6.12. 韦伯(Weber)方程。抛物线柱函数Dn(z)354

6.13. 厄密(Hermite)函数和厄密多项式359

6.14. 拉革尔(Laguerre)多项式361

6.15. 其他一些可用惠泰克函数表示的特殊函数367

习题369

第七章 贝塞耳函数381

7.1. 贝塞耳(Bessel)方程及其来源。与合流超几何方程的关系381

7.2. 第一类贝塞耳函数J±v(z),2v≠整数383

7.3. 半奇数阶贝塞耳函数J?(z)386

7.4. Jv(z)的积分表示388

7.5. 整数阶贝塞耳函数Jn(z)396

7.6. 第二类贝塞耳函数Yv(z)402

7.7. 第三类贝塞耳函数(汉克耳(Hankel)函数)H？(z),H？(z)406

7.8. 变型(或虚宗量)贝塞耳函数Iv(z)和Kv(z)。汤姆孙(Thomson)函数berv(z),beiv(z)等412

7.9. 球贝塞耳函数iI(z),n(z),h？(z),h？(z)415

7.10. 渐近展开，|z|→∞的情形417

7.11. 最陡下降法420

7.12. v阶贝塞耳函数在|v|和|z|都很大时的渐近展开424

7.13. 加法公式436

7.14. 含贝塞耳函数的积分。(一)有限积分440

7.15. 含贝塞耳函数的积分。(二)无穷积分443

7.16. 诺埃曼(Neumann)展开456

7.17. 卡普坦(Kapteyn)展开460

7.18. 贝塞耳函数的零点466

7.19. 傅里叶(Fourier)-贝塞耳展开470

习题472

第八章 外氏椭圆函数507

8.1. 椭圆积分与椭圆函数507

8.2. 椭圆积分的周期511

8.3. 双周期函数和椭圆函数的一般性质513

8.4. 函数？(z)517

8.5. ？(z)和？′(z)之间的代数关系520

8.6. 函数ζ(z)523

8.7. 函数σ(z)526

8.8. 外氏椭圆函数的齐次性528

8.9. 普遍椭圆函数表达式529

8.10. 加法公式534

8.11. 三次曲线的坐标用椭圆函数表达538

8.12. 四次多项式问题540

8.13. 亏数为一的曲线544

习题548

第九章 忒塔函数553

9.1. 函数θ(v)553

9.2. 函数？k(v)555

9.3. 椭圆函数用忒塔函数表达558

9.4. ？k(v)的平方之间的关系559

9.5. 加法公式560

9.6. 忒塔函数所满足的微分方程561

9.7. 一些常数的值564

9.8. 勒让德第一种椭圆积分566

9.9. 雅氏虚变换570

9.10. 朗登(Landen)型变换573

9.11. 忒塔函数用无穷乘积表示574

9.12. 忒塔函数的对数微商用傅里叶级数展开578

9.13. 函数Θ(u)和H(u)580

习题581

第十章 雅氏椭圆函数589

10.1. 雅氏椭圆函数sn u,cn u,dn u589

10.2. 雅氏椭圆函数的几何表示法591

10.3. 全椭圆积分594

10.4. 加法公式596

10.5. 雅氏椭圆函数的周期性598

10.6. 雅氏椭圆函数的极点和零点599

10.7. 椭圆函数的变换601

10.8. 椭圆积分的演算605

10.9. 第二种椭圆积分612

10.10. 第三种椭圆积分614

10.11. 函数E(u)的性质615

10.12. K和E对k的微分方程和对k的展开式618

10.13. 雅氏椭圆函数与忒塔函数的关系621

10.14. 雅氏椭圆函数用无穷乘积和傅里叶级数表达627

习题631

第十一章 拉梅函数637

11.1. 椭球坐标637

11.2. 坐标用椭圆函数表达640

11.3. 拉梅(Lamé)方程643

11.4. 四类拉梅函数646

11.5. 椭球谐函数654

11.6. 尼文(Niven)的表达式656

11.7. 关于拉梅多项式的零点661

11.8. 第二种拉梅函数663

11.9. 广义拉梅函数665

11.10. 拉梅函数的积分方程669

11.11. 椭球谐函数的积分表达式671

习题674

第十二章 马丢函数678

12.1. 马丢(Mathieu)方程678

12.2. 解的一般性质。基本解680

12.3. 夫洛开(Floquet)解681

12.4. 马丢方程的周期解683

12.5. 夫洛开解的傅里叶展开685

12.6. 本征值λ(q)的计算公式688

12.7. 马丢函数cem(z)和sem(z)692

12.8. λv(q)依q的冪级数展开696

12.9. 当q小的时候马丢函数cem(z),sem(z)的傅里叶展开699

12.10. 无穷行列式702

12.11. 希耳(Hill)方程703

12.12. 马丢方程的稳定解与非稳定解。稳定区与非稳定区708

12.13. λ>>q>0时马丢方程的近似解711

12.14. 马丢函数的积分方程714

习题717

附录一 三次方程的根727

附录二 四次方程的根729

附录三 正交曲面坐标系731

参考书目752

符号753

索引755

外国人名对照索引759