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第六篇　有限元方法应用713

第1章 弹性力学……钟万勰713

1.1　引言713

1.2　基本微分方程和边界条件713

1.3　最小总势能原理715

1.4　最小总余能原理715

1.5　Hellinger-Reissnei二类变量广义变分原理716

1.6　胡海昌-鹫津三类变量广义变分原理716

1.7　不协调元与变分犯规717

1.8　板弯曲与平面弹性问题的相似性原理717

1.9　板弯曲与平面弹性问题的多类变量变分原理722

1.10　矩形板弯曲问题的解析解723

参考文献729

第2章 基于平面弹性-板弯曲模拟关系的新一类薄板有限元……钟万勰2.1　引言730

2.2　基于平面弹性-板弯曲模拟关系的薄板有限元的一般理论730

2.2.1　“初始单元”的构造731

2.2.2　“初始单元”向最终板单元的转换731

2.2.3　d和Ф的确定732

2.3　一个基于膜板比拟理论的三角形六自由度薄板单元MPST6739

2.4　一个基于膜板比拟理论的四节点八自由度理性板单元MPSRQ8740

2.5　一个基于平面弹性-板弯曲比拟理论的新的四节点十二自由度薄板单元——MPSQ12743

2.6　小结746

2.7　数值算例：中心集中力及均布力作用下的夹支和简支方板746

参考文献748

第3章 薄区域弹性壳体和板有限元分析……李开泰749

3.1　三维弹性材料的本构方程749

3.1.1　三维区域中曲线坐标系下的度量张量749

3.1.2　位移场的变形张量和应力张量750

3.1.3　应力张量752

3.1.4　应变张量和应力张量本构方程753

3.2　曲线坐标系下的三维弹性力学的动力学方程组和变分原理758

3.2.1　边值问题758

3.2.2　非线性边值问题763

3.3　非线性弹性力学方程组的有限元逼近765

3.4　线性弹性壳体769

3.4.1　几何预备知识769

3.4.2　壳体分类774

3.4.3　曲面上的Korn不等式775

3.4.4　三维壳体的变分问题776

3.5　经典弹性壳体模型和有限元逼近778

3.6　一个新的渐近方法783

3.7　弹性壳体模型的有限元逼近786

参考文献791

第4章 塑性力学和岩土力学有限元法……俞茂宏794

4.1　概述794

4.2　弹性塑性临界条件、线性到非线性的转化796

4.3　弹塑性应力应变关系799

4.4　岩土力学中弹塑性问题804

4.4.1　弹塑性问题分析的基本方法804

4.4.2　弹塑性问题的增量求解法808

4.5　岩土力学问题的特殊单元811

4.5.1　平面节理单元（Goodman单元）811

4.5.2　节理非线性分析813

4.6　岩土力学工程问题的处理814

4.6.1　初始地应力与开挖释放荷载的处理814

4.6.2　施工过程模拟816

4.7　岩土黏弹塑性有限元模拟816

4.7.1　黏塑性材料本构方程816

4.7.2　黏塑性应变增量和应力增量817

4.7.3　弹黏塑性有限元法822

4.7.4　黏弹塑性有限元分析步骤825

参考文献826

第5章 变分不等式有限元法……周叔子827

5.1　变分不等式概念827

5.2　障碍问题的有限元方法831

5.2.1　协调一次元方法831

5.2.2　协调二次元方法833

5.2.3　非协调元方法834

5.3　单边问题的有限元方法836

5.3.1　协调一次元方法836

5.3.2　混合元方法837

5.4　弹性接触问题的有限元方法840

5.4.1　弹性接触问题的数学模型840

5.4.2　接触问题的有限元方法841

5.4.3　接触问题的混合有限元方法842

5.4.4　摩擦问题844

5.5　离散问题基本解法847

5.6　变分不等式多层网格法850

5.7　变分不等式的区域分解法852

参考文献855

第6章 黏性流动的Navier-Stokes方程……李开泰857

6.1　不可压缩的Navier-Stokes方程857

6.2　解的存在唯一863

6.3　解的长时间行为、吸引子及其逼近866

6.4　Navier-Stokes方程的混合边值问题869

6.5　可压缩Navier-Stokes方程873

6.6　Navier-Stokes方程的时间离散876

6.7 时间半离散化的收敛性880

6.8　时间半离散化的误差估计881

6.9　算子分裂算法883

6.10　误差估计886

6.11　Navier-Stokes方程的多水平方法888

6.12　有限元的多水平算法893

6.13　其他流动问题899

第7章 定常的Navier-Stokes方程的有限元逼近……李开泰7.1　定常Navier-Stokes方程903

7.1.1　奇异解和非奇异解905

7.1.2　非奇异解分支906

7.2　非奇异解分支的迭代解910

7.2.1　简单梯度法和共轭梯度法的收敛性910

7.2.2　Navier-Stokes方程的最优控制和最小二乘方法911

7.2.3　连续算法916

7.3　广义Stokes问题的Uzawa算法917

7.4　Navier-Stokes方程的Galerkin有限元逼近921

7.5　最小二乘共轭梯度方法及其有限元实现923

7.6　Stokes问题有限元逼近924

7.6.1　有限元逼近924

7.6.2　inf-sup条件926

7.6.3　三角形有限元子空间（Xh,Mh）926

7.6.4　四边形有限元子空间929

7.6.5　Hood-Taylor有限元930

7.7　Navier-Stokes方程有限元的两个水平算法931

参考文献938

第8章 渗流力学……袁益让943

8.1　引言943

8.2　油水两相渗流驱动问题的特征有限元方法944

8.2.1　数学模型944

8.2.2　特征有限元全离散格式946

8.2.3　收敛性估计948

8.3　油水两相驱动问题的混合元方法949

8.3.1　数学模型949

8.3.2　半离散混合元格式和收敛性分析950

8.3.3　全离散混合元格式和收敛性分析952

8.3.4　特征混合元方法和分析953

8.4　可压缩二相驱动问题的特征有限元方法和混合元法954

8.4.1　数学模型954

8.4.2　半离散化有限元格式和混合元格式955

8.4.3　有限元格式和混合元格式的数值分析956

8.4.4　特征有限元方法和分析957

8.5　二相渗流驱动问题的变网格有限元法958

8.5.1　数学模型958

8.5.2　变网格有限元格式959

8.5.3　收敛性分析962

8.6　两相渗流动边值问题的有限元方法962

8.6.1　数学模型962

8.6.2　定压渗透边值问题的特征混合元格式和分析963

8.6.3　不渗透问题的特征混合元格式969

8.7　核废料污染问题的混合元方法969

8.7.1　数学模型969

8.7.2　混合元特征差分格式972

8.7.3　收敛性分析975

8.8　海水入侵数值模拟的特征有限元方法976

8.8.1　数学模型976

8.8.2　特征有限元格式和收敛性分析978

8.8.3　实际应用980

8.9　可压缩两相驱动算子分裂特征有限元格式982

8.9.1　数学模型982

8.9.2　算子分裂三层特征有限元格式983

8.9.3　收敛性定理988

8.10　多层渗流方程偶合系统的算子分裂特征有限元方法988

8.10.1　数学模型988

8.10.2　算子分裂特征有限元格式989

8.10.3　收敛性定理993

8.10.4　实际应用994

参考文献996

第9章 电磁场……盛剑霓998

9.1　引言998

9.2　恒定电场的计算998

9.2.1　定解问题或数学模型998

9.2.2　变分问题999

9.2.3 二维Laplace电场的有限元方程1001

9.2.4　二维Poisson电场的有限元方程1005

9.2.5　轴对称电场的有限元方程1007

9.2.6　三维电场的有限元方程1008

9.3　恒定磁场的计算1008

9.3.1　定解问题或数学模型1008

9.3.2　变分问题及有限元方程1011

9.4　涡流场的计算1014

9.4.1　正弦稳态涡流场的基本方程组1014

9.4.2　二维线性正弦稳态涡流场的计算1015

9.4.3　轴对称线性正弦稳态涡流场的计算1019

9.4.4　三维线性正弦稳态涡流场的定解问题1020

9.4.5　？，？-？法计算分层媒质中三维非线性涡流场1021

9.4.6　？-？法计算分层媒质中三维非线性涡流场1024

9.4.7　？-？法及？，？-？-？法计算分层媒质中三维非线性涡流场1026

9.4.8　？法计算分层媒质中三维非线性涡流场1028

9.4.9　？法的提出1029

9.4.10　？法计算线性二维和轴对称涡流场1030

参考文献1031