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出版说明1

第2版 前言1

第1版 前言1

第1章 数值计算引论1

1.1 数值计算方法1

1.2 误差的来源2

1.3 近似数的误差表示3

1.3.1 绝对误差3

1.3.2 相对误差5

1.3.3 有效数字6

1.3.4 有效数字与相对误差8

1.4 数值运算误差分析11

1.4.1 函数运算误差11

1.4.2 算术运算误差12

1.5 数值稳定性和减小运算误差13

1.5.1 数值稳定性13

1.5.2 减小运算误差14

1.6 习题19

第2章 非线性方程的数值解法21

2.1 初始近似值的搜索21

2.1.1 方程的根21

2.1.2 逐步搜索法22

2.1.3 区间二分法23

2.2 迭代法25

2.2.1 迭代原理25

2.2.2 迭代的收敛性26

2.2.3 迭代过程的收敛速度33

2.2.4 迭代的加速34

2.3 牛顿迭代法37

2.3.1 迭代公式的建立37

2.3.2 牛顿迭代法的收敛情况39

2.3.3 牛顿迭代法的修正40

2.4 弦截法44

2.4.1 单点弦法44

2.4.2 双点弦法45

2.5 多项式方程求根46

2.5.1 牛顿法求根47

2.5.2 劈因子法49

2.6 习题52

第3章 线性代数方程组的数值解法55

3.1 高斯消去法56

3.1.1 顺序高斯消去法56

3.1.2 列主元高斯消去法62

3.1.3 高斯-约当消去法66

3.2 矩阵三角分解法69

3.2.1 高斯消去法的矩阵描述69

3.2.2 矩阵的直接三角分解70

3.2.3 用矩阵三角分解法解线性方程组73

3.2.4 追赶法78

3.3 平方根法81

3.3.1 对称正定矩阵82

3.3.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解82

3.3.3 改进平方根法85

3.4 向量和矩阵的范数88

3.4.1 向量范数88

3.4.2 矩阵范数91

3.5 方程组的性态和误差分析94

3.5.1 方程组的性态和矩阵的条件数94

3.5.2 误差分析97

3.6 迭代法98

3.6.1 迭代原理98

3.6.2 雅可比迭代99

3.6.3 高斯-赛德尔迭代100

3.6.4 松弛法101

3.6.5 迭代公式的矩阵表示103

3.7 迭代的收敛性105

3.7.1 收敛的基本定理105

3.7.2 迭代矩阵法108

3.7.3 系数矩阵法112

3.7.4 松弛法的收敛性115

3.8 习题116

第4章 插值法121

4.1 引言121

4.1.1 代数插值121

4.1.2 代数插值的惟一性122

4.2 拉格朗日插值123

4.2.1 线性插值和抛物线插值123

4.2.2 拉格朗日插值多项式125

4.2.3 插值余项和误差估计127

4.3 逐次线性插值131

4.3.1 三个节点时的情形131

4.3.2 埃特金插值132

4.3.3 内维尔插值133

4.4 牛顿插值133

4.4.1 差商及其性质134

4.4.2 牛顿插值公式136

4.4.3 差商和导数139

4.5 等距节点插值140

4.5.1 差分140

4.5.2 等距节点牛顿插值公式143

4.6 反插值145

4.6.1 插值和反插值145

4.6.2 反函数插值多项式145

4.7 埃尔米特插值147

4.7.1 埃尔米特插值多项式147

4.7.2 埃尔米特插值的惟一性及余项.148

4.7.3 牛顿型埃尔米特插值多项式149

4.7.4 带不完全导数的埃尔米特插值多项式151

4.8 分段插值法154

4.8.1 高次插值的龙格现象154

4.8.2 分段插值和分段线性插值154

4.8.3 分段三次埃尔米特插值156

4.9 三次样条插值157

4.10 习题162

第5章 曲线拟合的最小二乘法166

5.1 最小二乘原理166

5.2 超定方程组的最小二乘解169

5.3 可线性化模型的最小二乘拟合171

5.4 多变量的数据拟合173

5.5 多项式拟合176

5.6 正交多项式及其最小二乘拟合179

5.6.1 正交多项式179

5.6.2 用正交多项式作最小二乘拟合184

5.7 习题185

第6章 数值积分和数值微分187

6.1 数值积分概述187

6.1.1 数值积分的基本思想187

6.1.2 代数精度188

6.1.3 插值求积公式190

6.1.4 构造插值求积公式的步骤193

6.2 牛顿-柯特斯公式195

6.2.1 公式的导出195

6.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度199

6.2.3 梯形公式和辛普森公式的余项200

6.2.4 牛顿-柯特斯公式的稳定性203

6.2.5 复化求积法205

6.3 变步长求积和龙贝格算法208

6.3.1 变步长梯形求积法208

6.3.2 龙贝格算法210

6.4 高斯型求积公式212

6.4.1 概述212

6.4.2 高斯-勒让德求积公式216

6.4.3 带权的高斯型求积公式219

6.4.4 高斯-切比雪夫求积公式221

6.4.5 高斯型求积公式的数值稳定性221

6.5 数值微分222

6.5.1 机械求导法222

6.5.2 插值求导公式224

6.6 习题226

第7章 常微分方程初值问题的数值解法229

7.1 欧拉法230

7.1.1 欧拉公式230

7.1.2 两步欧拉公式233

7.1.3 梯形法234

7.1.4 改进欧拉法235

7.2 龙格-库塔法236

7.2.1 泰勒级数展开法236

7.2.2 龙格-库塔法的基本思路237

7.2.3 二阶龙格-库塔法和三阶龙格-库塔法239

7.2.4 经典龙格-库塔法241

7.2.5 隐式龙格-库塔法245

7.3 线性多步法246

7.3.1 一般形式246

7.3.2 亚当斯法248

7.3.3 亚当斯预报-校正公式250

7.3.4 误差修正法251

7.4 收敛性与稳定性252

7.4.1 误差分析252

7.4.2 收敛性252

7.4.3 稳定性254

7.5 方程组与高阶微分方程255

7.6 习题259

附录 部分习题参考答案263

参考文献269