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第一章 集合论1

1.1集合的概念和术语1

1.1.1集合的基本概念和表示1

1.1.2集合之间的关系3

1.1.3集合簇4

1.2集合的运算5

1.2.1集合的基本运算5

1.2.2幂集6

1.2.3 n元组和笛卡儿乘积7

*1.2.4广义并和广义交7

1.3集合运算的性质8

1.3.1集合恒等式8

1.3.2集合演算10

1.3.3对偶原理11

1.4有限集合的计数12

*1.5罗素悖论13

1.6小结14

1.7习题14

第二章 数论基础18

2.1最大公因数和最小公倍数18

2.1.1整除、同余、最大公因数和最小公倍数18

2.1.2欧几里得算法20

2.1.3最大公因数和最小公倍数的性质21

2.2素数23

2.2.1整数的素分解23

2.2.2素性探测24

2.3一次同余方程26

2.3.1一次同余方程26

2.3.2一次同余方程组27

*2.3.3大整数的剩余表示法30

*2.4 RSA公钥密码体制30

2.5小结32

2.6习题32

第三章 命题逻辑34

3.1命题和命题公式34

3.1.1命题与逻辑联结词34

3.1.2命题公式37

3.2等值演算39

3.2.1等值的概念39

3.2.2等值演算40

3.2.3对偶原理41

3.3范式41

3.3.1主析取范式42

3.3.2主合取范式43

3.3.3联结词的功能完备集44

3.4命题逻辑的推理理论45

3.5小结48

3.6习题49

第四章 一阶逻辑51

4.1谓词51

4.1.1谓词和量词51

4.1.2谓词公式53

4.2等值演算和前束范式55

4.3.阶逻辑的推理理论57

4.4小结59

4.5习题59

第五章 关系62

5.1关系的概念62

5.1.1二元关系62

5.1.2二元关系的表示64

*5.1.3n元关系65

5.2关系运算66

5.2.1关系的基本运算66

5.2.2关系运算的性质68

5.3关系的特殊性质及其闭包70

5.3.1关系的特殊性质70

5.3.2关系的闭包71

5.4等价关系和划分73

5.4.1等价关系和等价类73

5.4.2划分和等价关系75

5.5偏序关系76

5.5.1偏序关系和偏序集77

5.5.2哈斯图78

5.5.3偏序集的性质78

*5.5.4拓扑序列79

*5.5.5格80

5.6小结81

5.7习题81

第六章 函数和集合的基数86

6.1函数的概念和性质86

6.1.1函数的基本概念86

6.1.2函数的复合和逆88

6.2集合的基数91

6.2.1集合的等势91

6.2.2可数集92

6.2.3无限集和集合的基数94

*6.3不可解问题96

6.3.1不可解问题的存在性96

6.3.2停机问题97

6.4小结98

6.5习题99

第七章 图论基础101

7.1图及其表示101

7.1.1图的概念101

7.1.2图的矩阵表示103

7.1.3几种特殊的图105

7.1.4子图和图运算108

7.2握手定理109

7.3图的连通性110

7.3.1通路和回路110

7.3.2图的连通性111

7.3.3矩阵运算和连通性113

*7.4最短通路和Dijkstra算法114

7.4.1广度优先搜索算法115

7.4.2带权图和Dijkstra算法116

7.5顶点着色117

7.6图同构121

7.7小结122

7.8习题123

第八章 具有特殊性质的图126

8.1欧拉图126

8.1.1欧拉图的概念126

8.1.2无向欧拉图的性质127

8.1.3有向欧拉图的性质128

8.2哈密顿图129

8.2.1哈密顿图的概念129

8.2.2无向哈密顿图的性质130

*8.2.3格雷码131

*8.2.4竞赛图132

8.3平面图133

8.3.1平面图的概念133

8.3.2平面图的性质135

8.4无向树137

8.4无向树的概念137

8.4.2无向树的基本性质137

*8.4.3求最小生成树的Kruskal算法141

8.5有向树142

8.5.1有向树和根树及其简单性质142

*8.5.2求最优树的Huffman算法145

8.6小结146

8.7习题147

第九章 基本计数方法150

9.1鸽笼原理150

9.2加法原理与乘法原理151

9.3排列与组合152

9.3.1排列152

9.3.2组合153

9.4二项式系数154

9.5可重复的排列和组合155

9.5.1可重复的排列155

9.5.2可重复的组合156

9.6容斥原理157

9.7生成排列和组合159

9.7.1生成排列159

9.7.2生成组合160

9.8小结160

9.9习题160

第十章 递推关系和生成函数163

10.1递推关系163

10.2常系数线性递推关系165

10.2.1求解常系数线性齐次递推关系166

*10.2.2求解常系数线性非齐次递推关系169

10.3生成函数171

10.3.1幂级数型生成函数171

*10.3.2指数型生成函数173

10.4生成函数应用举例175

10.5小结178

10.6习题179

第十一章 代数结构基础181

11.1代数系统181

11.2二元运算的性质182

11.3半群和独异点183

11.4同态和同构184

11.5小结186

11.6习题186

第十二章 群188

12.1群188

12.2子群189

12.2.1子群190

12.2.2元素的阶191

12.3循环群和群的直积191

12.3.1循环群191

*12.3.2群的直积192

12.4陪集和正规子群193

*12.5群同态194

12.6变换群和置换群195

*12.7群码198

12.7.1纠错码的基本概念198

12.7.2线性码的生成矩阵与校验矩阵199

12.7.3群码202

12.8小结205

12.9习题205

第十三章 环和域209

13.1环209

13.1.1环的定义209

13.1.2特殊元素和性质210

13.1.3环的分类210

13.2子环、理想和商环212

13.2.1子环和理想212

13.2.2商环212

*13.3环同态213

13.4一元多项式环与多项式编码214

13.4.1域上的一元多项式215

*13.4.2一元多项式环的主理想218

*13.4.3多项式编码219

*13.5域221

*13.5.1域的基本概念和简单性质221

*13.5.2有限域222

*13.5.3扩域的性质和几何作图问题223

13.6小结225

13.7习题225

第十四章 格和布尔代数228

14.1格228

14.1.1偏序格228

14.1.2代数格231

14.2有界格、有补格和分配格232

14.3布尔代数234

14.3.1布尔格和布尔代数234

14.3.2有限布尔代数235

14.3.3对偶原理235

14.4小结235

14.5习题236

参考文献238