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第1章 函数、极限与连续1

1.1函数的基本概念1

1.1.1集合与区间1

1.1.2函数概念3

1.1.3复合函数5

1.1.4反函数6

1.1.5基本初等函数与初等函数6

1.1.6函数的几种特性9

习题1.110

1.2数列的极限11

1.2.1数列的概念11

1.2.2数列极限的性质与运算法则15

习题1.217

1.3函数的极限18

1.3.1当x→∞时函数的极限18

1.3.2当x→x0时函数的极限19

1.3.3函数极限的性质和运算法则21

习题1.323

1.4两个重要的极限24

1.4.1 ?，式中x以弧度为单位24

1.4.2 ?或?26

习题1.428

1.5无穷小与无穷大29

1.5.1无穷小29

1.5.2无穷大30

1.5.3无穷小的比较31

1.5.4利用等价无穷小的代换求极限32

习题1.533

1.6函数的连续性34

1.6.1函数的连续性34

1.6.2连续函数的运算36

1.6.3函数的间断点36

1.6.4闭区间上的连续函数的性质37

习题1.639

复习题41

第2章 一元函数微分学45

2.1导数的概念45

2.1.1导数概念的引出45

2.1.2导数的定义46

2.1.3求导数举例47

2.1.4导数的几何意义48

2.1.5函数可导性与连续性的关系48

习题2.149

2.2求导法则、初等函数的导数51

2.2.1函数的四则求导法则51

2.2.2复合函数的求导法则52

2.2.3反函数的求导法则53

2.2.4初等函数的求导问题54

2.2.5隐函数的导数55

习题2.257

2.3高阶导数59

2.3.1高阶导数的概念59

2.3.2二阶导数的物理意义60

习题2.360

2.4微分及其应用61

2.4.1微分的概念61

2.4.2微分的几何意义63

2.4.3微分的基本公式与运算法则63

2.4.4由参数方程所确定的函数的导数64

习题2.466

2.5微分中值定理67

2.5.1罗尔定理67

2.5.2拉格朗日中值定理68

2.5.3柯西中值定理69

习题2.570

2.6洛必达法则71

2.6.1 0/0型、∞/∞型未定式71

2.6.2其他类型的未定式72

习题2.673

2.7函数的单调性与函数图形的凹凸性74

2.7.1函数的单调性74

2.7.2曲线的凹凸性与拐点75

习题2.777

2.8函数的极值与最值78

2.8.1函数的极值及其求法78

2.8.2最值问题80

习题2.882

2.9函数的水平渐近线与铅直渐近线83

2.9.1曲线的渐近线83

2.9.2函数图形的描绘84

习题2.985

复习题85

第3章 不定积分87

3.1不定积分的概念与性质87

3.1.1问题的引出87

3.1.2原函数与不定积分的概念87

3.1.3不定积分的几何意义89

3.1.4不定积分的性质89

3.1.5基本积分公式90

3.1.6直接积分法91

习题3.191

3.2第一类换元积分法93

3.2.1问题的引出93

3.2.2第一类换元法（或称凑微分法）93

习题3.2100

3.3第二类换元积分法101

3.3.1简单根式代换102

3.3.2三角代换102

3.3.3倒代换104

习题3.3105

3.4不定积分的分部积分法106

习题3.4109

复习题110

第4章 定积分及其应用113

4.1定积分的基本概念113

4.1.1问题的引出113

4.1.2定积分的定义及几何意义115

习题4.1117

4.2定积分的性质118

习题4.2120

4.3微积分基本定理121

4.3.1变上限的积分函数122

4.3.2牛顿-莱布尼茨公式124

习题4.3125

4.4定积分的换元积分法与分部积分法126

4.4.1定积分的换元积分法126

4.4.2定积分的分部积分法129

习题4.4130

4.5定积分的应用131

4.5.1微元法131

4.5.2定积分在几何上的应用132

习题4.5135

4.6广义积分137

4.6.1无穷区间上的广义积分137

4.6.2无界函数的广义积分139

习题4.6141

复习题142

第5章 多元函数微分学147

5.1预备知识147

5.1.1空间直角坐标系147

5.1.2曲面及其方程148

5.2多元函数的基本概念150

5.2.1多元函数的概念150

5.2.2二元函数的极限与连续性153

习题5.2154

5.3偏导数156

5.3.1偏导数的概念156

5.3.2高阶偏导数158

习题5.3159

5.4全微分161

5.4.1全微分的定义161

5.4.2全微分在近似计算中的应用163

习题5.4164

5.5复合函数与隐函数求导法165

5.5.1复合函数求导法165

5.5.2隐含数求导法168

习题5.5171

5.6多元函数的极值172

5.6.1二元函数的极值及求法172

5.6.2最大值与最小值173

5.6.3条件极值174

习题5.6176

复习题178

第6章 二重积分181

6.1二重积分的概念与性质181

6.1.1二重积分的概念181

6.1.2二重积分的性质183

习题6.1185

6.2二重积分的计算186

6.2.1直角坐标下区域的表示186

6.2.2直角坐标下二重积分的计算187

习题6.2193

复习题194

第7章 无穷级数197

7.1常数项级数的概念与性质197

7.1.1常数项级数的概念197

7.1.2常数项级数的基本性质198

7.1.3级数收敛的必要条件199

习题7.1200

7.2常数项级数的审敛法201

7.2.1正项级数及其审敛法201

7.2.2交错级数及其审敛法204

7.2.3任意项级数及其审敛法204

习题7.2205

7.3幂级数207

7.3.1函数项级数的概念207

7.3.2幂级数及其收敛性208

7.3.3幂级数的运算210

习题7.3211

7.4函数的幂级数展开式212

7.4.1泰勒级数212

7.4.2函数展开成幂级数212

习题7.4214

复习题214

第8章 常微分方程217

8.1微分方程的基本概念217

8.1.1实例217

8.1.2微分方程的定义218

8.1.3微分方程的解218

习题8.1219

8.2可分离变量的微分方程220

习题8.2222

8.3齐次微分方程222

习题8.3223

8.4一阶线性微分方程224

8.4.1一阶线性齐次方程224

8.4.2一阶线性非齐次方程224

8.4.3贝努利方程226

习题8.4227

复习题227

习题参考答案230

附录258

附录A 考试大纲258

附录B 常用公式273

参考文献277