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第一章 数值计算导论1

1数学问题与数值计算问题1

2数值计算的基本数学思想与方法9

数值计算的基本思想9

数值计算的基本方法16

3计算误差的基本概念和误差分析18

误差来源的分类19

绝对误差、相对误差与有效数字21

算术运算的误差25

适定性与稳定性29

避免和减少误差的若干计算原则33

4算法性态分析概述35

计算复杂度——计算的代价36

收敛率——计算的速度39

5问题与探索41

数值问题的病态性41

迭代法的收敛性及其收敛速度（收敛率）43

20世纪十大算法44

线性代数方程组问题与建模45

习题一47

数值实验一50

数值实验1.1迭代法的设计与运行50

数值实验1.2函数逼近50

第二章 求解线性代数方程组的直接方法52

1引言52

2初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵55

3 Gauss消元法58

顺序Gauss消元法58

消元过程的可行性64

Gauss消元法的矩阵分析66

Gauss主元消元法68

4三角分解法72

直接三角分解法72

列主元三角分解法76

带状对角形方程组的三角分解法76

正定矩阵的三角分解法84

5向量与矩阵的范数87

线性空间中的范数87

几个常用的向量范数90

向量范数的等价性93

矩阵范数94

几个常用的诱导矩阵范数97

范数的若干应用100

6线性方程组的误差分析及其性态103

直接法的误差分析103

线性方程组的条件数106

7问题与探索107

条件数的近似计算107

迭代改善法109

求解拟三对角线性方程组的直接方法109

本章评述111

习题二111

数值实验二116

数值实验2.1电阻网络问题的求解116

数值实验2.2时间序列模型的求解116

第三章 求解线性代数方程组的迭代法118

1引言118

2基本迭代法及其构造123

3基本迭代法的收敛理论132

迭代法的收敛性分析132

收敛定理133

误差估计136

4几类特殊方程的基本迭代法的收敛性138

对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性138

对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性142

SOR迭代格式的收敛性144

Richardson迭代格式的收敛性147

5迭代加速方法148

多项式加速方法148

SOR迭代的最优松弛因子150

6求解Ax=b的变分原理与共轭梯度法158

求解Ax=b的变分原理与最速下降法158

最速下降法的收敛性161

共轭方向法163

共轭梯度法166

共轭梯度法的收敛性169

求解非奇异方程组的共轭梯度法170

7问题与探索171

不动点原理171

预处理共轭梯度法175

最优松弛因子的实用选择方法178

本章评述178

习题三179

数值实验三184

数值实验3.1基本迭代法的运行（1）184

数值实验3.2基本迭代法的运行（2）185

数值实验3.3迭代法的进一步认识（1）185

数值实验3.4迭代法的进一步认识（2）185

第四章 非线性方程组的数值求解186

1概述186

2非线性方程的根的定位和二分法187

根的定位187

二分法193

3基于不动点原理的迭代法195

不动点方程与不动点迭代法195

不动点的存在性与迭代法的全局收敛性197

迭代法的局部收敛性与收敛阶199

迭代法收敛的加速方法201

4 Newton法（切线法）206

Newton法及其迭代格式206

Newton法的收敛性207

求重根的修正Newton法210

Newton法的进一步研究212

5非线性方程组的数值求解的基本方法218

概述218

向量值函数的可微性221

不动点迭代法及其局部收敛性225

Newton迭代法228

6非线性方程组的数值方法的进一步研究232

同伦算法232

拟Newton法234

7问题与探索236

方程重根数的计算方法236

基于变分原理的最小二乘法237

矩阵特征值问题的实例238

本章评述241

习题四241

数值实验四246

数值实验4.1算法的设计和性能比较研究246

数值实验4.2 Newton法收敛域的结构和局部收敛性246

数值实验4.3一般迭代格式的复杂行为247

数值实验4.4非线性方程组的数值求解247

第五章 矩阵特征值问题的数值方法248

1矩阵特征值问题的有关基础248

2乘幂法与反乘幂法254

乘幂法的基本原理254

乘幂法的计算格式258

加速收敛技术261

反乘幂法与Rayleigh商迭代法（RQI）263

基于乘幂法的降阶收缩方法265

3常用的线性变换工具267

正交上三角化变换267

Householder反射变换268

实现正交三角分解的Givens旋转变换和Schmidt变换276

4求解一般矩阵特征值问题的QR方法280

基本QR迭代格式280

QR方法的收敛性282

QR方法的预处理284

带平移QR迭代方法289

5对称矩阵特征值问题293

乘幂法293

对称QR方法294

Householder方法295

Jacobi方法299

6问题与探索304

Krylov子空间方法的基本思想304

Arnoldi过程305

Lanczos过程308

本章评述310

习题五311

数值实验五316

数值实验5.1矩阵特征值问题条件数的估计316

数值实验5.2 QR方法的实施316

数值实验5.3对称矩阵特征值问题的不同方法的比较317

第六章 数值逼近问题（Ⅰ）——插值及其数值计算318

1插值的基本概念318

2多项式插值319

Lagrange插值319

插值多项式的插值余项321

Newton插值323

有限差分计算325

等距节点上的插值公式330

Hermite插值332

Newton-Hermite插值公式333

3分段线性插值334

4三次样条插值336

三次样条函数336

三次样条插值的计算337

误差界与收敛性339

5 B-样条函数339

n次样条函数空间340

B-样条及其性质341

6问题与探索345

Lagrange-Hermite插值公式345

本章评述348

习题六348

数值实验六352

数值实验6.1观察Lagrange插值的Runge现象352

数值实验6.2验证三次样条函数插值是否有几何不变性352

第七章 数值逼近问题（Ⅱ）——函数的最优逼近与拟合354

1线性赋范空间中的逼近问题354

函数逼近与函数空间354

赋范线性空间中的最佳逼近355

2最佳一致逼近356

3最小零偏差多项式及其应用358

Chebyshev多项式358

代数插值余项的极小化360

Taylor级数项数的节约361

4最佳平方逼近363

线性内积空间363

线性内积空间的最佳逼近363

函数的最佳平方逼近366

正交基369

5正交多项式371

Legendre多项式371

Chebyshev多项式373

无穷区间上的正交多项式374

6离散情况的最佳平方逼近375

7数据拟合的最小二乘法378

问题的引入378

一般提法380

8有理函数插值与逼近383

9 Padé逼近方法388

10快速Fourier变换（FFT）393

三角函数插值和有限Fourier变换393

快速Fourier变换395

计算实例与倒地址问题398

11问题与探索399

最小二乘法模型中的线性和非线性函数399

带约束条件的最小二乘法400

本章评述404

习题七404

数值实验七407

数值实验7.1非线性最小二乘拟合方法的比较407

数值实验7.2最佳平方逼近多项式的收敛性407

数值实验7.3 Padé逼近的收敛性407

数值实验7.4函数平方逼近多项式的均方误差计算408

第八章 数值积分与数值微分409

1概述409

数值积分与数值微分问题409

数值积分的基本思想409

2插值型求积法413

插值型求积公式413

Newton-Cotes公式415

插值型求积公式的收敛性和数值稳定性419

3复化求积法421

复化梯形公式421

复化Simpson公式423

复化Cotes公式425

4外推积分法与Romberg求积公式426

外推法的基本思想426

Euler-Maclaurin求和公式428

Richardson外推法431

Romberg求积公式433

5 Gauss求积法435

引言435

Gauss数值求积原理及其性质437

几种常用的Gauss求积公式442

6重积分的数值计算447

矩形区域上的二重梯形公式447

矩形区域上的二重Simpson公式449

7数值微分450

基于插值法的数值微分法450

样条插值函数数值微分法452

化微分问题为积分问题的数值微分法453

8问题与探索454

积分方程的数值解454

非标准权函数的Gauss求积公式的构造456

常微分方程问题及其模型457

本章评述459

习题八460

数值实验八464

数值实验8.1复化梯形积分法、复化Simpson积分法和Gauss积分法的实验比较464

数值实验8.2数值积分法用于积分方程求解465

数值实验8.3数值微分法用于偏微分方程求解465

数值实验8.4样条插值函数求积法465

第九章 常微分方程初值问题的数值方法4

1引言467

解析解的理论结果467

数值求解的基本思想468

2简单的数值方法及其分析469

Euler法及其几何解释469

Euler法误差分析471

其他简单单步法474

单步法的局部截断误差与阶476

3 Runge-Kutta方法478

Taylor级数法478

RK方法的构造479

二阶显式RK方法480

三阶与四阶显式RK方法482

隐式与半隐式RK方法484

4单步法的收敛性与稳定性485

收敛性与相容性486

整体截断误差估计及其应用488

绝对稳定性与绝对稳定区域491

5线性多步法494

线性多步法的构造——数值积分法494

线性多步法的构造——待定系数法496

线性多步法的收敛性和稳定性498

线性多步法的应用504

6求解方程组和高阶方程的数值方法507

一阶方程组508

化高阶方程为一阶方程组510

7问题与探索511

刚性微分方程问题511

微分方程边值问题的数值方法512

微分方程的动力迭代法515

本章评述517

习题九517

数值实验九522

数值实验9.1观察显式Euler法的数值不稳定性522

数值实验9.2观察当解不光滑时数值方法的收敛性522

数值实验9.3初步认识刚性微分方程522

数值实验9.4边值问题的数值方法522

数值实验9.5简单的捕食模型523

主要参考文献524

名词索引527