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第1章 引论1

1．1 数值逼近的内容和方法1

1．2 Peano核定理2

1．3 误差4

1．4 计算函数值的坏条件的判别法7

第2章 插值法8

2．1 插值的一般问题8

2．1．1 插值问题8

2．1．2 广义插值10

2．2 Lagrange插值11

2．2．1 多项式插值11

2．2．2 代数插值的Lagrange形式11

2．2．3 误差估计14

2．2．4 收敛性与稳定性19

2．2．5 高次插值与低次插值的递推关系26

2．3 Hermite插值29

2．3．1 Hermite插值29

2．3．2 用基插值法求Hermite插值多项式30

2．3．3 2n-1次Hermite插值33

2．3．4 两节点五次Hermite插值37

2．4 差分、差商与Newton插值39

2．4．1 差分39

2．4．2 差分性质43

2．4．3 差商44

2．4．4 Newton插值多项式45

2．4．5 差商的性质49

2．4．6 等距节点情形的插值公式52

2．4．7 重节点差商55

2．5．1 张量积插值58

2．5 二元插值58

2．5．2 Coons曲面60

习题63

第3章 样条函数67

3．1 三次插值样条函数67

3．1．1 三次插值样条解的存在唯一性67

3．1．2 三次插值样条的计算72

3．1．3 误差估计75

3．1．4 三次插值样条的内在性质79

3．2．1 样条函数定义81

3．2 样条函数空间81

3．2．2 几个特殊样条函数83

3．2．3 样条函数空间85

3．3 B-样条基底88

3．3．1 B-样条构造88

3．3．2 B-样条基本性质90

3．3．3 B-样条基底98

3．3．4 举例99

3．3．5 重节点B-样条100

3．4．1 B-样条表示多项式104

3．4 样条函数的性质与计算104

3．4．2 样条函数求值106

3．4．3 样条函数微商109

3．4．4 样条函数的变缩性质（V-D性质）111

3．5 样条插值113

3．5．1 等距节点插值113

3．5．2 插值点与节点的关系116

3．5．3 几种节点的取法118

3．5．4 参数样条119

习题123

第4章 数值积分与数值微分127

4．1 等距节点求积公式127

4．1．1 基本求积公式127

4．1．2 复化求积公式130

4．1．3 计算误差分析132

4．1．4 求积公式的代数精度133

4．1．5 求积公式的误差135

4．2 Richardson外推法与Romberg求积137

4．2．1 Richardson外推法138

4．2．2 Bernoulli多项式与Bernoulli数141

4．2．3 Euler-Maclaurin求和公式144

4．2．4 Romberg积分148

4．2．5 样条函数方法求数值积分150

4．3 正交多项式151

4．3．1 正交多项式151

4．3．2 正交多项式的性质153

4．3．3 几个正交多项式156

4．4 Gauss型求积公式162

4．4．1 一般概念162

4．4．2 Gauss型求积公式举例165

4．4．3 几个Gauss型求积公式167

4．5 奇异积分的数值积分法170

4．5．1 含有振荡函数的数值积分170

4．5．2 奇异积分的数值方法172

4．6 数值微分176

4．6．1 基本数值微分公式176

4．6．2 外推法180

4．6．3 样条函数的应用182

习题183

5．1．1 线性正算子187

5．1 线性正算子与Weierstrass定理187

第5章 最佳逼近187

5．1．2 伯恩斯坦多项式191

5．1．3 Weierstrass定理195

5．2 线性赋范空间的最佳逼近196

5．2．1 线性赋范空间196

5．2．2 最佳逼近存在定理197

5．2．3 最佳逼近唯一性定理198

5．3 最佳一致逼近200

5．3．1 最佳一致逼近问题201

5．3．2 切比雪夫定理203

5．3．3 求最佳一致逼近多项式207

5．3．4 里米兹算法208

5．3．5 离散情形210

5．4 内积空间的最佳逼近211

5．4．1 内积空间211

5．4．2 内积空间的正交组214

5．4．3 内积空间的最佳逼近214

5．4．4 正规方程组217

5．5．1 线性最小二乘法219

5．5 最小二乘逼近219

5．5．2 样条最小二乘数据拟合225

5．5．3 一般的最小二乘逼近230

5．6 函数的最佳平方逼近231

5．6．1 函数的最佳平方逼近231

5．6．2 切比雪夫级数233

5．6．3 缩短幂级数236

5．7 有理函数逼近239

5．7．1 Pade 逼近239

5．7．2 Chebyshev-Pade 逼近242

5．7．3 函数的连分式表示245

习题246

第6章 函数的表示理论249

6．1 Fourier级数与Fourier变换249

6．1．1 Fourier级数与周期函数的最佳平方逼近249

6．1．2 Fourier变换252

6．1．3 快速Fourier变换257

6．2 小波级数与小波变换262

6．2．1 从Fourier分析到小波分析262

6．2．2 多分辩分析（MRA）267

6．2．3 小波分解与重构算法268

6．2．4 小波变换274

习题276

第7章 常微分方程数值解278

7．1 Euler法278

7．1．1 Euler法278

7．1．2 改进Euler法281

7．1．3 Euler法舍入误差传播282

7．2 Rung-Kutta法284

7．2．1 Taylor展开法284

7．2．2 Runge-Kutta型方法287

7．2．3 三阶Runge-Kutta法292

7．2．4 四阶Runge-Kutta法293

7．3 线性多步法295

7．3．1 线性多步法295

7．3．2 Adams型方法299

7．3．3 误差分析302

7．4 外推法304

7．5 收敛性与稳定性309

7．5．1 单步法的收敛性309

7．5．2 稳定性313

7．6 边值问题的差分法及样条函数配置法316

7．6．1 化为初值问题316

7．6．2 差分方法317

7．6．3 样条函数方法319

7．7 微分方程组数值解法325

7．7．1 一阶微分方程组325

7．7．2 刚性问题328

习题331

参考文献334

索引335