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目录1

第1章　高中数学开放性问题概论1

1.1　数学开放性问题研究综述1

1.1.1　数学开放性问题的沿革1

1.1.2　数学开放性问题的概念与分类3

1.1.3　数学开放性问题的教育价值4

1.1.4　数学开放性问题教学设计的原则5

1.2.1 对数学开放性问题的认识6

1.2　个性化的认识及教学尝试6

1.2.2　在教学中使用数学开放性问题的尝试8

1.3　数学开放性问题的编制12

第2章　集合与命题19

2.1　存在判断型19

2.1.1　作为元素的集合19

2.1.2 数字变奏曲19

2.1.3　集合A的元素恰好不在集合B中20

2.1.4　元素和相等的子集21

2.1.5　构造真命题22

2.1.6　与其子集元素个数一样多的集合23

2.2　结论发散型24

2.2.1　概念系24

2.2.2　集合方程25

2.2.3　约数集的个数25

2.2.4　集合间的条件关系26

2.2.5　集合的描述27

2.3　归纳发现型29

2.3.1　两圆的对称轴方程29

2.3.2　斜边的范围30

2.3.3　验算后的猜想31

2.4　方法探究型33

2.4.1　零值代入法33

2.4.2　平面点集35

2.4.3　相等的集合36

2.5　信息迁移型38

2.5.1　集合的差运算38

2.5.2　集合的运算“。”39

本章探究实践40

本章探究实践参考答案42

第3章　不等式46

3.1　反溯条件型46

3.1.1 给定解集的不等式46

3.1.2 符合条件的不等式47

3.1.3　乘积的最值48

3.1.4　不等式间的条件关系49

3.2　归纳发现型50

3.2.1 数字的奥秘50

3.2.2　推广不等式51

3.2.3 sin（cosα）与cos（sinα）哪个大52

3.3　模式应用型55

3.3.1　函数模型55

3.3.2　几何模型与分形57

3.3.3　三角模型59

3.3.4　数列模型61

3.3.5　不等式模型61

3.4　反思实践型63

3.4.1　基本不等式求最值63

3.4.2 函数值的范围64

3.4.3　函数的值域65

本章探究实践67

本章探究实践参考答案69

第4章　复数与向量73

4.1　存在判断型73

4.1.1 复数中的实数a73

4.1.2　虚数z是否存在74

4.1.3　带有对数式的复数75

4.1.4　复系数的一元二次方程76

4.1.5 实系数的一元二次方程77

4.2　反溯条件型79

4.2.1　成为共轭复数的条件79

4.2.2 向量？与？平行的条件80

4.2.3　平面中的正三角形80

4.2.4　实系数方程的根81

4.2.5 三点共线的条件82

4.3　结论发散型84

4.3.1　复数方程表示的点集84

4.3.2　探索zn＋？的可能值85

4.3.3 关于ω的代数式86

4.3.4　复数z与单位圆87

4.3.5　能否求出z1/z2的值88

4.3.6　机器人问题89

4.4　构造设计型92

4.4.1　编写方程92

4.4.2　编写方程组92

4.4.3　构造复数不等式表示封闭区域93

4.5.1　复数模的最大值95

4.5　策略发散型95

4.5.2　解复方程97

4.5.3　？的符号98

4.5.4　如何求复数z1＋z2的模100

4.6　错解分析型103

4.6.1　求函数最值错在哪里103

4.6.2　哪个是最大值104

4.7　信息迁移型106

4.7.1　推断z＋？为实数的条件106

4.7.2　模相等的复数107

本章探究实践109

本章探究实践参考答案110

第5章　函数114

5.1　反溯条件型114

5.1.1　成为同一函数114

5.1.2　函数的反函数115

5.1.3　是什么函数116

5.1.4　缺什么补什么117

5.1.5　不完整的命题118

5.2.1　一道看不明白的题目120

5.2　探索结论型120

5.2.2　写函数解析式121

5.2.3　符合增减性的p值122

5.2.4　弦长的射影124

5.2.5　推断解析式125

5.3　知识巩固型126

5.3.1　奇偶函数的性质126

5.3.2　相关函数图象之间的关系126

5.3.3　正弦与余弦127

5.4.1 函数不等式能成立吗129

5.4　存在判断型129

5.4.2 图象的公共点130

5.4.3　根为三角形内角的正弦值131

5.4.4　多余条件131

5.4.5 夹在两个函数之间的函数132

5.5　建模分析型134

5.5.1　汽车能行驶多远134

5.5.2　限定区域的驾驶问题135

5.5.3　如何进货136

5.6.1　斜率属于集合K的函数139

5.6　信息迁移型139

5.6.2　均值为C的函数140

5.6.3　k阶格点函数140

5.6.4　迭代函数值为双元素集合的函数141

5.6.5　优惠率的确定141

5.7　解答评价型143

5.7.1　常量与变量混淆143

5.7.2　错在哪里144

5.7.3　对解题过程的反思146

本章探究实践149

本章探究实践参考答案151

第6章　空间图形154

6.1　信息迁移型154

6.1.1　向量的混合积154

6.1.2　两平面所成角的新定义155

6.1.3 点到面的距离158

6.1.4　多面体的“直度”162

6.1.5　异面直线距离164

6.2.1　农户粮仓设计166

6.2　方案设计与筛选型166

6.2.2　规则方式打包167

6.2.3　罐内液体的估计168

6.2.4　景观工程169

6.2.5　山腰居民取水171

6.3　结论发散型173

6.3.1　长方体对角线定理173

6.3.2 四面体体积175

6.3.3 正四棱锥中的角177

6.3.4 侧棱两两垂直的三棱锥180

6.3.5 面面垂直的演变181

6.4　策略开放型183

6.4.1　必胜选择183

6.4.2 确定求体积的策略184

6.4.3　平行六面体中的方法186

6.4.4 三角目标的最小值191

6.5　类比推广型193

6.5.1 四面体的重心193

6.5.2　正四面体中的距离194

6.5.3 空间勾股定理195

6.5.4　到两定点距离之差最大196

6.5.5　类似的结论197

6.6　判断探究型199

6.6.1 四面体的截面199

6.6.2　点运动的位置200

6.6.3 四个角都是直角202

6.6.4　θ角的确定203

6.6.5　能否成为正方形204

6.7.1　一组填空题207

6.7　反溯条件型207

6.7.2　求救的信号209

6.7.3 高考问题的改变211

6.7.4　正三棱柱中的垂直213

6.7.5　棱锥体积最大215

6.8　存在判断型217

6.8.1　动点的位置是否存在217

6.8.2　分体积相等218

6.8.3　动点的轨迹219

6.8.4　120°的二面角221

6.8.5　构造长方体222

本章探究实践223

本章探究实践参考答案226

第7章　曲线与方程231

7.1　反溯条件型231

7.1.1　过定点的定直线231

7.1.2　平移的曲线232

7.1.3 已知切线的圆233

7.1.4　顶点的条件234

7.2　存在判断型237

7.2.1　过定点的直线与线段相交237

7.2.2　直线与双曲线的交点238

7.2.3　三角形面积的最值241

7.2.4　有公共焦点的曲线242

7.3　结论发散型245

7.3.1 只有一个交点的圆和抛物线245

7.3.2　直角三角形的顶点246

7.3.3　不同坐标系下的方程247

7.3.4　方程的不同曲线250

7.4　信息迁移型253

7.4.1　点集的运算253

7.4.2　函数的最值254

本章探究实践256

本章探究实践参考答案257

第8章　数列261

8.1　信息迁移型261

8.1.1　递推数列261

8.1.2　发散数列的收敛子数列262

8.1.3 有界数列的收敛子数列263

8.2　举例说明型265

8.2.1　Sn＝a·n2＋b·n＋c型的非等差数列265

8.2.2　极限相等的数列265

8.2.3　极限大于0的数列266

8.3　构造设计型268

8.3.1　递推数列的实际背景268

8.3.2　再找一个已知模型的应用268

8.3.3　等差数列前n项和的模型设计269

8.4.1　式子的规律271

8.4　发现规律型271

8.4.2　寻找堆放规律272

8.4.3　写数列的通项公式272

8.4.4　数列中是否出现了5的倍数273

8.5　归纳总结型275

8.5.1　通项与前n项和275

8.5.2　评价不同的证明方法276

8.5.3 等差数列的和与项277

8.5.4　等比数列和的极限278

8.5.5　增长无限、高度有限280

8.6　问题探究型283

8.6.1　公差由你确定283

8.6.2 等差数列前两项形成的等比数列284

8.6.3　是否为数列中的项285

本章探究实践286

本章探究实践参考答案287

第9章　排列、组合、概率统计初步与决策289

9.1　信息迁移型289

9.1.1　再生数289

9.1.2　排列数290

9.1.3　秘书打信291

9.1.4　环状排列292

9.1.5 不尽相异元素的全排列292

9.2　结论发散型294

9.2.1　车站问题294

9.2.2　确定正整数294

9.2.3　能做几个图形295

9.2.4　扑克牌游戏296

9.2.6　组合恒等式297

9.2.5　戴错帽子297

9.3　存在判断型299

9.3.1　相邻三项构成等比数列299

9.3.2　展开式是否同时含有常数项299

9.3.3　总统与发言人300

9.4　方案设计302

9.4.1　花圃栽种植物302

9.4.2　投资方案决策303

9.4.3　世界杯足球赛304

本章探究实践305

本章探究实践参考答案306

第10章　综合实践309

10.1　信息迁移型309

10.1.1　极限的“双夹”定理309

10.1.2　数列发生器311

10.1.3　运算封闭性313

10.1.4　替代函数313

10.1.5 潮汐问题314

10.1.6　函数的不动点316

10.2　方案设计型319

10.2.1 开发区的道路网319

10.2.2　防洪抢险320

10.2.3　不合实际的方案321

10.2.4　飞播种草322

10.2.5　蔬菜上残留的农药324

10.3　观察归纳推广型326

10.3.1　不等命题的推广326

10.3.2　二阶等差数列327

10.3.3　焦点弦的条数328

10.3.4　等比数列的Sn→m329

10.3.5　糖水中的不等式330

10.4　反溯条件型332

10.4.1　写错的sin（α＋β）332

10.4.2　计算装置333

10.4.3　单调的二次函数334

10.4.4　三棱锥中的二面角335

10.4.5　n2个实数的方阵336

10.5.1　集合中的命题338

10.5　判断探究型338

10.5.2　最小自然数339

10.5.3　十字路口立交桥341

10.5.4　恒小于后面的项342

10.5.5 动点轨迹恰为圆344

10.6　存在判断型347

10.6.1　交集上的点347

10.6.2　多项式中的系数348

10.6.3 坐标平面上的变换350

10.6.4　最小的整数352

10.6.5　α存在吗353

10.7　综合型356

10.7.1　新不等式的特征356

10.7.2　组合数的性质357

10.7.3　恰为固定的值域359

10.7.4　摸彩的方案360

10.7.5 滑棒在抛物面内停留在何处361

本章探究实践364

本章探究实践参考答案368