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1.1基和变换1

1.1.1向量的线性相关与线性独立1

第一章 向量与仿射坐标变换1

1.1.2基和基向量3

5.3.2黎曼空间的测地线 214

2.6.2三维的情况 74

1.1.3基向量的正变换和逆变换4

1.2.1相伴基6

1.2相伴基及有关的一些问题6

1.2.2求和约定9

1.2.3一向量的协变分量与逆变分量11

1.2.4向量的物理分量14

1.3.1标量变量的向量函数16

1.3向量的微分和积分16

1.3.2向量函数的导数17

1.3.3向量函数的积分18

1.4例题19

习题一30

第二章 张量概念及其代数运算33

2.1引言33

2.2张量的概念36

2.2.1二阶张量36

2.2.2二阶张量的例子37

2.2.3应力张量及应变张量40

5.4.4引力场和广义相对论 241

2.2.4惯性矩张量48

2.3曲线坐标51

2.3.1坐标曲面和坐标曲线54

2.3.2局部基，弧长及度量张量55

2.4一般曲线坐标系中的张量58

2.4.1一般张量的定义58

2.4.2高阶张量的定义60

2.5.1张量加法63

2.5张量的代数运算63

2.5.2张量的乘法64

2.5.3张量的缩并66

2.5.4指标的升降67

2.5.5张量的对称性69

2.5.6商律——张量判别法则70

2.6仿射正交张量71

2.6.1化二阶张量到主轴上73

2.6.3张量椭球75

2.6.4张量的不变量77

2.71张量密度的概念78

2.7张量密度78

2.7.2二阶反对称张量与轴向量80

2.8例题82

习题二85

第三章 张量分析88

3.1.1张量场及其梯度88

3.1张量场的概念88

3.1.2向量场的通量和散度89

3.1.3向量场的环流和旋度93

3.1.4二阶张量场94

3.2微分算子△95

3.3协变微分99

3.3.1向量的协变微分99

3.3.2克利斯托弗尔记号100

3.3.3张量的协变微分104

3.3.4Ricci定理105

3.3.5曲线坐标下微分算子的表达式105

3.4积分定理108

3.4.1高斯定理的推论108

3.4.2斯托克斯定理的推论109

3.4.3格林公式110

3.5在流体力学上的应用113

3.5.1流体运动方程113

3.5.2动量定理117

3.6有势场和无旋场、管形场121

3.6.1有势场和无旋场121

3.6.2多值势122

3.6.3管形场124

3.6.4调和场126

3.7在电磁论中的应用131

3.7.1麦克斯韦方程131

3.7.2标量势与向量势133

3.7.3电磁场的能量，波印廷向量135

3.8例题136

习题三147

4.1.1空间曲线论的基本公式149

4.1平面和空间中的曲线149

第四章 微分几何初步149

4.1.2曲线族的包络154

4.1.3平面曲线的渐屈线和渐伸线156

4.2空间曲面的概念158

4.2.1空间曲面的参数表示158

4.2.2曲面的切平面和法线160

4.2.3直纹面和可展曲面161

4.3曲面上的曲线弧长和曲面面积165

4.3.1曲面的第一基本形式165

4.3.2曲面的面积167

4.4.1第二基本形式168

4.4曲面的第二基本形式、曲线的曲率168

4.4.2主方向与主曲率171

4.4.3曲率线174

4.4.4全曲率和平均曲率176

4.5曲面上的协变微分、测地线177

4.5.1曲面上的活动标架和曲面论的基本公式177

4.5.2曲面上切向量的协变微分179

4.5.3测地线182

4.6例题187

习题四196

第五章 微分流形和黎曼几何初步198

5.1微分流形的概念198

5.1.1拓扑空间198

5.1.2微分流形199

5.1.3切向量与切空间203

5.2流形的度量、黎曼空间206

5.3.1协变微分209

5.3黎曼空间中的协变微分和曲率209

5.3.3黎曼空间中的梯度、散度和旋度216

5.3.4曲率张量218

5.4狭义相对论的基本概念226

5.4.1相对性原理和洛仑兹变换226

5.4.2四维速度向量，牛顿第二定律235

5.4.3狭义相对论的电磁场方程238

5.5例题242

习题五246

附录248

参考文献279