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第一篇 一元函数微积分3

第一章 极限与连续3

1 函数3

函数的概念3

函数的图像5

函数的性质6

复合函数8

反函数9

初等函数10

习题15

2 数列的极限16

几个例子16

无穷小量18

无穷小量的运算19

数列的极限21

收敛数列的性质22

单调有界数列26

Cauchy收敛准则28

子列29

习题30

3 函数的极限31

自变量趋于有限值时函数的极限31

极限的性质34

单侧极限39

自变量趋于无限时函数的极限40

习题43

4 连续函数44

函数在一点的连续性45

函数的间断点48

初等函数的连续性49

闭区间上连续函数的性质50

无穷小和无穷大的连续变量52

曲线的渐近线56

习题59

第二章 微分与导数61

1 微分与导数的概念61

一个实例61

微分的概念62

导数的概念64

导数的意义66

微分的几何意义68

习题69

2 求导运算70

几个初等函数的导数70

四则运算的求导法则71

复合函数求导的链式法则73

反函数的求导法则76

基本初等函数的导数表79

对数求导法81

高阶导数82

习题85

3 微分运算86

基本初等函数的微分公式86

微分运算法则87

一阶微分的形式不变性88

隐函数求导法88

由参数方程确定的曲线的斜率90

微分的应用：近似计算92

微分的应用：误差估计94

习题95

4 微分学中值定理96

局部极值与Fermat定理97

Rolle定理97

微分学中值定理99

Cauchy中值定理101

习题102

5 L′Hospital法则103

0/0型的L′Hospital法则104

∞/∞型的L′Hospital法则106

其他不定型的极限107

习题109

6 Taylor公式110

带Peano余项的Taylor公式111

带Lagrange余项的Taylor公式112

Maclaurin公式114

习题117

7 函数的单调性和凸性118

函数的单调性118

函数的极值121

函数的最大值和最小值123

函数的凸性128

曲线的拐点129

函数图像的描绘130

习题133

8 函数方程的近似求解135

习题139

第三章 一元函数积分学140

1 定积分的概念、性质和微积分基本定理140

面积问题141

路程问题142

定积分的定义142

定积分的性质145

原函数146

微积分基本定理148

习题149

2 不定积分的计算151

不定积分151

基本不定积分表152

不定积分的线性性质153

第一类换元积分法（凑微分法）154

第二类换元积分法158

分部积分法161

有理函数的积分164

某些无理函数的积分167

三角函数有理式的积分169

习题171

3 定积分的计算174

分部积分法174

换元积分法176

数值积分181

习题184

4 定积分的应用187

微元法187

面积问题（直角坐标下的区域）188

面积问题（极坐标下的区域）189

已知平行截面面积求体积190

旋转体的体积191

曲线的弧长192

旋转曲面的面积193

曲线的曲率195

由分布密度求分布总量198

动态过程的累积效应200

习题203

5 反常积分205

无穷限的反常积分205

比较判别法208

无界函数的反常积分209

Cauchy主值积分214

Γ函数216

B函数217

习题219

第二篇 线性代数与空间解析几何223

第四章 矩阵和线性方程组223

1 向量与矩阵224

向量224

矩阵224

矩阵的运算227

分块矩阵及运算233

习题236

2 行列式238

行列式的定义238

行列式的性质240

习题245

3 逆矩阵247

逆矩阵的概念与性质247

用初等变换求逆矩阵250

Cramer法则254

习题256

4 向量的线性关系258

线性相关与线性无关258

与线性关系有关的性质261

习题265

5 秩266

向量组的秩266

矩阵的秩268

习题275

6 线性方程组276

齐次线性方程组276

非齐次线性方程组282

Gauss消元法289

Jacobi迭代法292

习题295

第五章 线性变换、特征值和二次型298

1 线性空间298

线性空间298

线性空间的基与坐标304

基变换与坐标变换308

习题312

2 线性变换及其矩阵表示314

几种简单的几何变换314

线性变换316

线性变换的运算318

线性变换的矩阵表示319

不同基下表示矩阵的关系323

习题327

3 特征值问题329

矩阵的特征值和特征向量329

特征值和特征向量的性质331

可对角化的矩阵335

Jordan标准形简介338

线性变换的特征值和特征向量340

习题341

4 内积与内积空间342

Euclid空间342

正交基344

正交矩阵和正交变换347

酉空间、酉矩阵和酉变换349

内积空间350

习题357

5 正交相似和酉相似359

对称矩阵、Hermite矩阵和正规矩阵359

正交相似360

酉相似363

习题366

6 二次型及其标准形式367

一个例子367

二次型与对称矩阵370

化二次型为标准形的几种方法372

习题376

7 正定二次型377

惯性定理377

正定二次型和正定矩阵379

用Cholesky分解解线性方程组384

二次曲线的分类385

习题387

第六章 空间解析几何389

1 向量的内积、外积和混合积389

空间直角坐标系389

向量391

向量的内积和外积391

向量的混合积397

习题399

2 平面和直线400

平面方程的几种形式400

直线方程的几种形式402

平面束405

点到平面、直线的距离406

交角408

习题410

3 曲面、曲线和二次曲面412

曲面方程412

曲线方程417

二次曲面419

习题426

常用的平面曲线428

部分习题答案与提示432