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1 数学方法论概述1

1.1 数学方法、数学思想的认识及其关系1

1.1.1 数学方法的认识1

1.1.2 数学思想的认识4

1.1.3 数学思想与数学方法的关系5

1.2 数学方法论发展简史6

1.2.1 数学方法论的萌芽（17世纪中叶前）6

1.2.2 数学方法论的形成（17世纪中叶至19世纪末）7

1.2.3 数学方法论的建立和发展（20世纪初至今）7

1.3 数学方法论与相关学科的关系9

1.4 数学方法论研究的内容与意义11

1.4.1 数学方法论研究的内容11

1.4.2 数学方法论研究的意义12

1.5 数学方法论的研究方法16

2 数学发展的规律和趋势17

2.1 数学发展的主要规律17

2.1.1 数学发展的实践性17

2.1.2 数学发展的曲折性18

2.1.3 数学发展的相对独立性25

2.1.4 数学论争的普遍性27

2.2 19世纪以来数学发展的特点和趋势29

2.2.1 数学发展的特点29

2.2.2 近现代数学发展的趋势36

2.3 数学发展的方法38

2.3.1 问题产生法38

2.3.2 扩张法41

2.3.3 交叉互取法42

2.3.4 分支分化法42

2.3.5 发现法43

3 数学思想方法的几次重大突破44

3.1 从算术到代数44

3.1.1 算术与代数的区别44

3.1.2 代数体系结构的形成48

3.2 从综合几何到几何代数化48

3.2.1 几何代数化思想的背景48

3.2.2 几何代数化的意义54

3.3 从常量数学到变量数学55

3.3.1 变量数学产生的历史背景55

3.3.2 变量数学的形成及意义55

3.4 从必然数学到或然数学57

3.4.1 或然数学的现实基础57

3.4.2 或然数学的产生和发展58

3.5 从明晰数学到模糊数学61

3.5.1 模糊数学产生的背景61

3.5.2 模糊数学的思想方法62

3.6 从手工证明到机器证明63

3.6.1 机器证明的必要性和可能性64

3.6.2 机器证明的思想及发展64

4 数学思想方法选讲68

4.1 数学公理化方法68

4.1.1 公理化方法的意义68

4.1.2 公理化方法发展简史68

4.1.3 公理化方法的应用举例74

4.1.4 公理化方法的作用和局限性76

4.2 数学中的化归思想77

4.2.1 化归思想方法的意义77

4.2.2 化归思想方法79

4.2.3 化归的基本原则79

4.2.4 化归的基本策略86

4.2.5 化归方法的分类94

4.2.6 中学数学教材中的化归思想剖析95

4.3 数学中的关系-映射-反演原则96

4.3.1 关系-映射-反演原则的意义96

4.3.2 RMI原则在数学中的应用99

4.4 数学模型化方法109

4.4.1 数学模型的意义111

4.4.2 数学模型的分类111

4.4.3 数学模型化方法应用举例113

4.5 数形结合思想方法117

4.5.1 数形结合思想的重要性117

4.5.2 数形结合的历史渊源118

4.5.3 数形结合思想应用举例121

4.6 分类讨论思想130

4.6.1 分类讨论思想的应用举例131

4.6.2 简化回避分类讨论的技巧140

4.7 合情推理思想141

4.7.1 演绎推理和合情推理141

4.7.2 合情推理的主要形式141

5 数学悖论与数学发明创造155

5.1 数学悖论155

5.1.1 悖论的意义155

5.1.2 常见的悖论156

5.1.3 悖论的成因及其解决方案160

5.2 悖论与三次数学危机162

5.2.1 数学史上的三次数学危机163

5.2.2 研究悖论的重要意义164

5.3 数学发明创造的心智过程164

5.3.1 数学发明创造的含义164

5.3.2 数学发明创造的心智过程165

5.3.3 数学中的灵感思维166

5.3.4 数学发明创造与数学美169

5.4 数学美及其审美能力的培养170

5.4.1 数学与美学170

5.4.2 数学美的体现形式171

5.4.3 数学教学中审美能力的培养175

6 数学思想方法教学研究178

6.1 数学思想方法教学的重要性178

6.2 数学思想方法的教学策略及案例分析185

6.2.1 数学思想方法的教学策略185

6.2.2 课堂教学设计案例193

参考文献199