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第1章 矩阵基础知识1

1.1 线性空间与线性映射1

1.1.1 线性空间与线性子空间1

1.1.2 Euclid空间、酉空间5

1.1.3 线性映射及其矩阵表示6

1.1.4 几个重要的线性子空间及其性质9

1.2 矩阵的数值特征10

1.2.1 秩10

1.2.2 行列式13

1.2.3 迹15

1.2.4 特征值、特征向量和特征多项式16

1.3 矩阵的标准形19

1.3.1 等价变换下的标准形19

1.3.2 相似变换下的Jordan标准形20

1.3.3 相合变换下的标准形31

1.4 半正定和正定矩阵32

1.5 矩阵求逆公式35

1.5.1 Leverrier-Faddeev算法36

1.5.2 分块求逆公式36

1.5.3 Sherman-Morrison-Woodbury公式37

1.6 Hadamard与Kronecker积38

1.6.1 Hadamard积及其性质38

1.6.2 Kronecker积及其性质40

习题43

第2章 向量范数和矩阵范数45

2.1 向量范数45

2.1.1 向量范数的定义45

2.1.2 常用向量范数46

2.1.3 向量范数的分析性质49

2.1.4 向量范数的代数性质52

2.2 矩阵范数54

2.2.1 矩阵范数的定义及分析性质54

2.2.2 常用的矩阵范数56

2.2.3 由向量范数诱导的矩阵范数58

2.3 一些应用62

2.3.1 谱半径与矩阵范数62

2.3.2 矩阵逆与线性方程组解的扰动问题64

2.3.3 条件数68

习题69

第3章 矩阵函数和矩阵微积分71

3.1 矩阵序列和矩阵级数71

3.1.1 矩阵序列71

3.1.2 矩阵级数74

3.1.3 矩阵幂级数77

3.2 矩阵函数79

3.2.1 矩阵函数的定义与性质79

3.2.2 矩阵函数值的计算82

3.3 矩阵的微分和积分87

3.3.1 以一元函数为元素的矩阵的微积分87

3.3.2 函数对向量的微分91

3.3.3 函数对矩阵的微分93

3.3.4 矩阵对矩阵的微分101

3.4 一些应用103

3.4.1 特征多项式系数的表示103

3.4.2 线性常系数微分方程组的求解105

3.4.3 矩阵最优低秩逼近107

习题108

第4章 矩阵分解110

4.1 满秩分解110

4.2 三角分解111

4.2.1 LU分解111

4.2.2 LDU分解115

4.2.3 LU分解的算法116

4.2.4 Cholesky分解118

4.3 QR分解119

4.3.1 QR分解120

4.3.2 Gram-Schmidt算法及其修正121

4.3.3 Householder变换法123

4.3.4 Givens旋转法126

4.4 奇异值分解128

4.4.1 定义及性质128

4.4.2 极分解130

4.5 矩阵的同时对角化131

4.5.1 Hermite矩阵和正规矩阵同时对角化131

4.5.2 广义奇异值分解134

4.6 一些应用137

4.6.1 随机向量的模拟137

4.6.2 基于QR分解的最小二乘算法137

4.6.3 矩阵的最优逼近139

习题142

第5章 特征值分析144

5.1 特征值的连续性144

5.2 特征值的估计145

5.2.1 特征值的界145

5.2.2 特征值所在的区域149

5.3 Hermite矩阵的特征值及其极性155

5.3.1 Rayleigh商155

5.3.2 广义Rayleigh商159

5.3.3 特征值的分隔160

5.3.4 Hermite扰动下的特征值164

5.4 一些应用167

5.4.1 与对角矩阵相似的矩阵特征值的扰动167

5.4.2 主成分分析169

5.4.3 概率分布的Wasserstein距离170

习题173

第6章 广义逆矩阵175

6.1 投影矩阵175

6.2 广义逆矩阵及其性质179

6.2.1 广义逆的定义179

6.2.2 广义逆的性质181

6.2.3 广义逆的等价形式184

6.2.4 广义逆的反序法则186

6.2.5 广义逆矩阵的连续性问题188

6.3 广义逆的计算方法190

6.3.1 单个矩阵的广义逆190

6.3.2 更新矩阵的广义逆195

6.3.3 分块算法200

6.4 一些应用214

6.4.1 矩阵方程、线性方程组的解与广义逆214

6.4.2 精确初始化的最小二乘递推算法221

习题227

第7章 矩阵不等式229

7.1 数值特征的不等式229

7.1.1 迹不等式229

7.1.2 与特征值相关的不等式235

7.2 L？wner序238

7.2.1 A≥B238

7.2.2 A2≥B2246

7.2.3 几个重要不等式的矩阵形式248

7.3 一些应用255

7.3.1 最优线性无偏估计融合255

7.3.2 线性最小均方误差估计的解析表达式259

7.3.3 估计的相对效率261

习题263

参考文献265

索引267