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第一章　矢量代数与微积1

1.1 矢量代数1

1.1.1　引言1

1.1.2　数量和矢量1

1.1.3　矢量加减法1

1.1.4　数乘矢量2

1.1.5　矢量的分解2

1.1.6　数量积（内积）3

1.1.7　矢量积4

1.1.8　混合积4

1.1.9　三重矢积5

习题6

1.2 矢量微积7

1.2.1　矢量微分7

1.2.2　矢量积分8

习题8

1.3 场论初步8

1.3.1　数量场和矢量场8

1.3.2　线积分、面积分、体积分9

1.3.3　数量场的梯度，矢量场的旋度和散度10

1.3.4　矢量算子？及其运算公式13

1.3.5　高斯散度定理16

1.3.6　斯托克斯定理17

1.3.7　势量场18

1.3.8　格林定理20

1.3.9　位置矢量r的散度和旋度21

1.3.10　高斯积分，数量位和矢量位22

1.3.11　亥姆霍兹定理25

习题25

1.4 正交系中的矢量运算公式26

1.4.1　右手直角坐标系中矢量公式26

1.4.2　正交系中矢量公式30

1.4.3　柱坐标系中矢量公式39

1.4.4　球坐标系中矢量公式40

1.4.5　边界层坐标系中矢量公式41

习题42

第二章　矩阵代数44

2.1 矩阵44

2.1.1　矩阵、转置阵、矩阵的迹44

2.1.2　克罗内克符号和李奇符号45

2.1.3　矩阵运算46

2.1.4　逆矩阵、正交矩阵47

2.1.5　求和约定48

2.1.6　线性方程组的解49

习题53

2.2 特征值与特征矢量53

2.2.1　特征值与特征矢量53

2.2.2　实对称矩阵的特征值与特征矢量54

2.2.3　相似矩阵及其特征值55

2.2.4　特征值为实数的实矩阵三角化55

2.2.5　实对称矩阵对角化58

2.2.6　实对称矩阵的特征矢量系58

2.2.7　Am与A的特征值对应关系59

2.2.8　正定阵59

习题60

2.3　Hamilton-Cayley定理和极分解定理60

2.3.1 Hamilton-Cayley定理60

2.3.2　极分解定理61

习题65

第三章　张量分析66

3.1 内积空间的基66

3.1.1　物理定理表达式的不变性66

3.1.2　矢量和矢量空间66

3.1.3　矢量的内积69

3.1.4　协变和逆变基69

3.1.5　自然基及其对偶基71

习题74

3.2 张量代数74

3.2.1　张量定义74

3.2.2　张量分量的变换法则76

3.2.3　张量代数运算80

习题82

3.3 张量协变导数83

3.3.1　Christoffel符号83

3.3.2　协变导数85

3.3.3　绝对微分89

习题89

3.4 张量微分算子和积分定理90

3.4.1　张量的梯度、散度和旋度90

3.4.2　积分定理90

3.4.3　数量场梯度，一阶二阶张量场梯度、散度、旋度94

习题95

3.5 二阶张量（仿射量）96

3.5.1　仿射量的物理分量、仿射量代数运算96

3.5.2　仿射量的特征方向、主向、不变量98

3.5.3　正则与退化的仿射量101

3.5.4　Hamilton-Cayley定理101

3.5.5　仿射量的分解101

3.5.6　仿射量表示转动102

习题105

3.6 张量函数105

3.6.1　各向同性张量105

3.6.2　张量函数、各向同性张量函数的表示定理108

3.6.3　张量函数的微分111

习题112

第四章　流体运动学113

4.1 连续介质模型113

4.1.1　引言113

4.1.2　物质的微观结构113

4.1.3　连续介质模型、质点、质点密度与速度114

习题116

4.2 质点运动116

4.2.1　描述介质运动的拉格朗日法和欧拉法116

4.2.2　物质导数、质点位移、速度、加速度117

4.2.3　定常与非定常场、迹线与流线、流管121

习题123

4.3 连续介质微团运动124

4.3.1　构形，连续流体线、面、体保持性124

4.3.2　拉格朗日坐标表示的体元124

4.3.3　直角坐标系中介质微团运动125

4.3.4　变形梯度130

4.3.5　变形梯度极分解、相对伸缩张量、Cauchy-Green张量132

4.3.6　变形梯度导数、旋转率、伸缩率张量134

4.3.7　Rivlin-Ericksen张量138

4.3.8　算例140

习题141

4.4 无旋流场141

4.4.1　无旋流动场的速度位141

4.4.2　不可压无旋流动的基本方程142

4.4.3　给定了速度的散度场的无旋流动以及点、线、面源143

习题144

4.5 有旋流动145

4.5.1　涡量、涡线、涡管、自由涡、强迫涡145

4.5.2　Helmholtz第一定理147

4.5.3　毕奥—沙伐定理148

习题150

第五章　流体动力学基本方程151

5.1 拉格朗日型积分形式基本方程151

5.1.1　引言151

5.1.2　封闭系统151

5.1.3　拉格朗日型积分形式质量方程151

5.1.4　体力与面力、Cauchy应力原理152

5.1.5　拉格朗日型积分形式动量方程和动量矩方程153

5.1.6　拉格朗日型积分形式能量方程154

5.2 欧拉型积分形式基本方程154

5.2.1　控制区154

5.2.2　雷诺传输定理155

5.2.3　欧拉型积分形式基本方程156

5.3 积分形式基本方程的应用157

5.3.1　积分形式方程应用于微元流管157

5.3.2　积分形式方程应用于工程管流159

5.3.3　动量矩方程用于洒水管161

5.3.4　能量方程用于两股流体混合问题162

习题163

5.4 关于应力和应力偶张量的Cauchy应力基本定理164

5.4.1　Cauchy应力基本定理164

5.4.2　直角坐标系中应力张量的表示167

5.5 由积分形方程推导微分形式基本方程方法之一168

5.5.1　微分形式质量方程168

5.5.2　微分形式动量方程170

5.5.3　微分形式能量方程171

5.5.4　任意曲线坐标系中微分形式基本方程173

5.6 由积分形式方程推导微分形式基本方程方法之二178

5.6.1　微分形式质量方程178

5.6.2　Cauchy动量、动量矩方程179

5.6.3　应力张量对称问题181

5.6.4　微分形式能量方程182

习题183

5.7 热力学第二定律在连续介质力学中的形式183

5.7.1　热力学第一定律183

5.7.2　完全气体与液体的状态方程186

5.7.3　热力学第二定律开尔文—普朗克说法及其推论卡诺原理188

5.7.4　基于克劳修斯不等式的两个热力学第二定律说法190

5.7.5　克劳修斯—杜海姆不等式192

5.7.6　流动状态介质的热力学性质193

习题194

5.8 本构方程194

5.8.1　基本方程的封闭性194

5.8.2　本构方程的原理、客观量195

5.8.3　Stokes流体、牛顿流体、Reiner-Rivlin流体197

5.8.4　简单流体199

5.8.5　线性热粘性流体、N-S方程200

习题208

5.9 间断面208

5.9.1　包含间断面的区域上积分的时间变化率208

5.9.2　在运动间断面上的跳变条件209

习题213

5.10 运动方程的两个积分213

5.10.1　物体力有势的定常理想流中沿流线或涡线运动方程积分213

5.10.2　理想无旋正压流场中运动方程的积分215

习题219

第六章　气体动力学问题220

6.1 气体动力学基本方程220

6.1.1　气体动力学中常用热力学公式220

6.1.2　音速计算公式221

6.1.3　气体动力学基本方程223

6.2 一维定常等熵流225

6.2.1　绝热流三个特殊状态225

6.2.2　速度系数227

6.2.3　气体动力学函数228

6.2.4　一维定常等熵变截面管流的参数变化230

习题233

6.3 膨胀波233

6.3.1　小扰动传播图画233

6.3.2　超音速气流绕二维凸壁流动234

习题237

6.4 激波237

6.4.1　激波前后参数关系式237

6.4.2　激波倾角β与气流折转角δ的关系243

习题244

6.5 拉伐尔喷管244

6.5.1　拉伐尔喷管的临界截面244

6.5.2　拉伐尔喷管中的各种流动状态245

习题247

6.6 一维定常绝热等截面摩擦管流248

6.6.1　一维定常绝热摩擦直管流的支配方程248

6.6.2　定常绝热摩擦直管流计算250

习题253

6.7 一维定常加热光滑直管流253

6.7.1　定常加热光滑直管流支配方程253

6.7.2　热力壅塞256

习题257

6.8 一维定常变截面换热摩擦管流257

6.8.1　一维定常管流257

6.8.2　几点说明258

第七章　非牛顿流体力学问题259

7.1 非牛顿流体分类259

7.1.1　聚合物工业中的非牛顿流体力学问题259

7.1.2　粘性系数259

7.1.3　非牛顿流体分类260

7.1.4　纯粘性流体261

7.1.5　粘塑性流体263

7.1.6　有时间依赖性的流体263

7.1.7　粘弹性流体263

7.1.8　一些非牛顿流体特有流动现象264

7.2 测粘流动265

7.2.1 曲线流动的粘度函数和法向应力差系数265

7.2.2　圆柱和球坐标系不可压连续和运动方程270

7.2.3　圆管内流动273

7.2.4　锥板间流动278

7.2.5　两圆筒间流动（Couette流动）280

7.2.6　平行圆板间流动283

7.3 拉伸流动287

7.3.1　单轴拉伸流动287

7.3.2　双轴拉伸流动289

7.3.3　二维拉伸流动（纯剪切流动）290

习题290

7.4 常拉伸史流动291

7.4.1　常拉伸史流动的定义及其Ct的形式291

7.4.2　常拉伸史流动举例292

习题293

7.5 随动坐标系293

7.5.1　随动坐标系293

7.5.2　随动导数295

7.6 共转坐标系299

7.6.1　共转导数299

7.6.2　几种导数间的关系301

习题302

7.7 由简单流体导出的近似的本构方程302

7.7.1　随动系中建立简单流体本构方程302

7.7.2 由简单流体导出的微分型近似本构方程303

7.7.3 由简单流体导出的积分型近似本构方程306

习题308

7.8　Maxwell-Oldroyd型本构方程308

7.8.1　线性粘弹性308

7.8.2　非线性本构方程313

习题322

7.9 聚合物熔体挤出膨胀和纺丝323

7.9.1　熔体纺丝323

7.9.2　熔体挤出膨胀327

第八章　湍流基本知识332

8.1 湍流的描述方法332

8.1.1 雷诺实验中层流与湍流332

8.1.2　湍流物理量的统计平均值332

8.1.3　湍流强度334

8.1.4　湍流尺度335

8.1.5　湍流能谱336

8.1.6　湍流的间歇性338

8.2 湍流的平均运动方程339

8.2.1　湍流仍作连续介质流动处理339

8.2.2　湍流平均量的连续性方程339

8.2.3　雷诺方程340

8.2.4　平均量的能量方程340

8.2.5　平均运动的动能方程341

8.2.6　雷诺应力输运方程342

8.2.7　涡量与涡的拉伸343

8.2.8　湍流能量耗散方程344

8.3 湍流模型346

8.3.1　湍流模式理论346

8.3.2　零方程模型346

8.3.3　湍流附面层基础知识347

8.3.4　Prandtl混合长度1m经验公式350

8.3.5　一方程模型352

8.3.6　二方程模型354

8.3.7　雷诺应力方程的模式化356

8.3.8　大涡模拟358

第九章　数值解算法应用的数学基础知识362

9.1 集合论基础知识362

9.1.1　集合符号与集合运算362

9.1.2　上限集与下限集364

9.1.3　集到集的映射365

习题366

9.2 泛函分析基础知识366

9.2.1　距离空间（度量空间）定义366

9.2.2　完备的距离空间368

9.2.3　距离空间中的开集与闭集368

9.2.4　Banach不动点定理369

习题370

9.3 线性空间370

9.3.1　线性空间定义370

9.3.2　线性相关性371

9.3.3　线性赋范空间定义372

9.3.4　内积空间374

9.3.5　Banach空间和Hilbert空间375

9.3.6　极小化向量定理378

习题380

9.4 线性算子380

9.4.1　线性算子定义380

9.4.2　线性算子连续性与有界性关系382

9.4.3　线性逆算子382

9.4.4　线性有界算子全体所成空间383

9.4.5　线性泛函384

9.4.6　有界线性算子扩张定理和一致有界定理386

习题387

9.5 广义函数与广义导数388

9.5.1　广义函数388

9.5.2　广义函数导数389

9.5.3　多维问题中的广义函数389

9.6 勒贝格积分391

9.6.1　开集构造定理和勒贝格测度391

9.6.2　勒贝格积分393

9.6.3　空间Lp［a,b］394

9.7 索波列夫（Sobolev）空间394

9.7.1　索波列夫空间394

9.7.2　索波列夫空间的一些性质396

9.8 变分法397

9.8.1　函数的极小值397

9.8.2　泛函的极小值397

习题401

第十章　流体力学问题解法402

10.1 基本方程线性或线化情形解法402

10.1.1　奇点法与叠加法402

10.1.2　二维不可压位流流函数与复位405

10.1.3　三维不可压位流奇点法407

10.1.4　可压位流方程小扰动线化后的奇点法408

10.1.5　二维不可压位流的复变函数法及保角变换法420

10.1.6　二维定常位流的速度图法426

习题428

10.2 双曲型拟线性方程的特征线解法429

10.2.1　特征线法概述429

10.2.2　特征线法在定常无旋均熵平面或轴对称超音速流动中的应用432

习题434

10.3 有限基本解法和格林函数法434

10.3.1　有限基本解法434

10.3.2　格林函数法439

10.4 摄动法441

10.4.1　摄动法概述441

10.4.2　正则摄动问题442

10.4.3　奇异摄动问题445

10.5　差分法451

10.5.1　差分方程的相容性451

10.5.2　差分方程解的收敛性与稳定性453

10.5.3　Banach空间中初值问题的适定性及其差分逼近的相容性收敛性稳定性455

10.5.4　Lax等价定理457

10.5.5　多层差分方程在辅助Banach空间中的表示459

10.5.6　差分方程稳定性的矩阵分析法460

10.5.7　一些常用的差分格式及其精度461

10.5.8　有限体积离散法462

10.5.9　一些常见的流体力学方程差分格式464

10.6 加权余量法474

10.6.1　加权余量法解题步骤474

10.6.2　各种加权余量法476

10.7 有限元法和边界元法482

10.7.1　从加权余量法解释有限元和边界元法482

10.7.2　伽辽金有限元法485

10.7.3　高斯求积公式494

10.7.4　变分原理的应用495

10.7.5　虚功原理502

10.7.6　边界元法503

附录　习题解答511

参考文献555