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第一章 函数、极限、连续1

1.1 函数1

一、集合1

二、函数概念3

三、函数的简单性质4

四、反函数、复合函数、基本初等函数和初等函数6

习题1.110

1.2 极限11

一、数列极限11

二、函数极限13

三、极限运算法则16

四、两个重要极限18

五、无穷小量与无穷大量21

习题1.225

1.3 连续26

一、函数连续的概念26

二、连续函数的性质与初等函数的连续性29

三、闭区间上连续函数的性质31

习题1.333

第二章 导数与微分34

2.1 导数概念34

一、导数定义34

二、几个基本初等函数的导数公式36

三、可导与连续的关系38

一、函数的和、差、积、商的求导法则39

2.2 导数的运算法则39

习题2.139

二、复合函数求导法则41

三、反函数求导法则43

四、初等函数的求导问题44

习题2.245

2.3 高阶导数、隐函数及参量函数的导数46

一、高阶导数46

二、隐函数的导数47

三、由参数方程所确定的函数的导数49

习题2.351

2.4 微分52

一、微分的定义及几何意义52

二、微分的运算法则54

三、微分的应用57

习题2.460

第三章 导数的应用62

3.1 微分中值定理、洛必达法则62

一、罗尔定理62

二、拉格朗日中值定理63

三、洛必达法则65

习题3.167

3.2 函数的单调性与极值68

一、函数单调性的判别法68

二、函数极值的判别法69

三、最大值和最小值的求法72

3.3 函数图象的描绘75

习题3.275

一、曲线的凹凸性与拐点76

二、函数作图举例78

习题3.380

3.4 曲率81

一、弧微分81

二、曲率公式82

三、曲率半径和曲率圆84

习题3.485

3.5 方程的近似解85

一、弦位法86

二、切线法88

习题3.589

第四章 积分90

4.1 不定积分90

一、原函数与不定积分的概念90

二、基本积分表91

三、不定积分的性质92

习题4.193

4.2 定积分94

一、定积分的概念94

二、定积分的性质96

习题4.299

4.3 微积分的基本定理99

一、变上限函数及其导数99

二、牛顿-莱布尼兹公式100

习题4.3101

4.4 换元积分法102

一、不定积分第一类换元法102

二、不定积分第二类换元法105

三、定积分的换元积分法107

习题4.4110

4.5 分部积分法111

习题4.5115

4.6 积分表的使用法115

习题4.6116

4.7 广义积分117

一、无穷限的广义积分117

二、无界函数的广义积分118

习题4.7119

4.8 定积分的近似计算120

一、矩形法120

二、梯形法120

三、抛物线法121

习题4.8123

第五章 定积分的应用124

5.1 定积分的元素法124

5.2 定积分在几何上的应用125

一、平面图形的面积125

二、旋转体的体积128

三、平面曲线的弧长130

习题5.2133

5.3 定积分在物理上的应用134

一、功134

二、水压力136

三、引力138

习题5.3138

第六章 微分方程140

6.1 微分方程的基本概念140

习题6.1142

6.2 一阶微分方程143

一、可分离变量的方程143

二、齐次方程144

三、一阶线性方程146

习题6.2148

6.3 一阶微分方程的应用举例149

一、在几何中的应用149

二、在物理中的应用151

习题6.3154

6.4 二阶常系数线性微分方程155

一、二阶常系数齐次线性方程155

二、二阶常系数非齐次线性方程158

习题6.4162

第七章 向量代数与空间解析几何164

7.1 向量代数164

一、空间直角坐标系164

二、向量及其坐标表示166

三、向量的乘法170

习题7.1174

7.2 空间的平面与直线175

一、平面及其方程175

二、直线及其方程177

习题7.2179

7.3 空间的曲面与曲线180

一、空间曲面180

二、常见二次曲面及其方程184

三、空间曲线186

四、空间曲线在坐标面上的投影188

习题7.3189

一、多元函数的概念191

8.1 多元函数的概念、极限与连续191

第八章 多元函数微分学191

二、多元函数的极限与连续192

习题8.1194

8.2 偏导数与全微分194

一、偏导数定义及其计算194

二、高阶偏导数196

三、全微分197

习题8.2198

8.3 多元复合函数与隐函数的微分法199

一、复合函数的微分法199

二、隐函数的微分法200

一、空间曲线的切线与法平面202

8.4 偏导数的几何应用202

习题8.3202

二、曲面的切平面与法线204

习题8.4205

8.5 多元函数的极值206

一、二元函数的极值206

二、最大值与最小值207

习题8.5208

第九章 多元函数积分学209

9.1 二重积分209

一、二重积分的概念209

二、二重积分的性质211

三、二重积分的计算212

习题9.1219

9.2 二重积分的应用220

一、曲面的面积220

二、平面薄片的重心221

三、平面薄片的转动惯量223

习题9.2223

9.3 对坐标的曲线积分224

一、对坐标的曲线积分的概念224

二、对坐标的曲线积分的计算225

三、格林公式228

四、平面曲线积分与路径无关的条件231

习题9.3232

一、数项级数的基本概念234

10.1 数项级数234

第十章 无穷级数234

二、数项级数的性质235

习题10.1237

10.2 数项级数收敛判别法237

一、正项级数及其比较判别法237

二、交错级数241

三、任意项级数242

习题10.2243

10.3 幂级数及其性质243

一、幂级数及其收敛性244

二、幂级数的运算性质246

一、泰勒级数248

10.4 函数展开成幂级数248

习题10.3248

二、函数展开成幂级数249

三、幂级数在近似计算中的应用252

习题10.4253

10.5 傅立叶级数254

一、周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数254

二、定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数256

三、周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数259

习题10.5260

附录Ⅰ 几种常用的曲线261

附录Ⅱ 积分表264

附录Ⅲ 积分变换简介272

习题答案276