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第一章 引论1

1.1 关于习题课教案的组织1

1.2 书中常用记号2

1.3 几个常用的初等不等式3

1.3.1 几个初等不等式的证明3

1.3.2 练习题7

1.4 逻辑符号与对偶法则9

第二章 数列极限12

2.1 数列极限的基本概念12

2.1.1 基本定义12

2.1.2 思考题13

2.1.3 适当放大法14

2.1.4 例题15

2.1.5 练习题17

2.2 收敛数列的基本性质17

2.2.1 思考题18

2.2.2 例题18

2.2.3 判定数列发散的方法21

2.2.4 练习题25

2.3 单调数列26

2.3.1 例题26

2.3.2 练习题30

2.4 Cauchy命题与Stolz定理31

2.4.1 基本命题31

2.4.2 例题35

2.4.3 练习题37

2.5 自然对数的底e和Euler常数γ37

2.5.1 与数e有关的两个问题38

2.5.2 关于数e的基本结果38

2.5.3 Euler常数γ43

2.5.4 例题44

2.5.5 练习题45

2.6 由迭代生成的数列46

2.6.1 例题46

2.6.2 单调性与几何方法49

2.6.3 练习题52

2.7 对于教学的建议53

2.7.1 学习要点53

2.7.2 补充例题54

2.7.3 参考题55

第一组参考题55

第二组参考题57

2.8 关于数列极限的一组习题课教案60

2.8.1 第一次习题课60

2.8.2 第二次习题课62

2.8.3 第三次习题课64

2.8.4 第四次习题课65

第三章 实数系的基本定理67

3.1 确界的概念和确界存在定理67

3.1.1 基本内容67

3.1.2 例题67

3.1.3 练习题69

3.2 闭区间套定理70

3.2.1 基本内容70

3.2.2 例题71

3.2.3 练习题72

3.3 凝聚定理73

3.3.1 基本内容73

3.3.2 例题73

3.3.3 练习题74

3.4 Cauchy收敛准则74

3.4.1 基本内容74

3.4.2 基本命题75

3.4.3 例题76

3.4.4 压缩映射原理77

3.4.5 练习题79

3.5 覆盖定理80

3.5.1 基本内容80

3.5.2 例题81

3.5.3 练习题83

3.6 数列的上极限和下极限83

3.6.1 基本定义83

3.6.2 基本性质84

3.6.3 例题88

3.6.4 练习题91

3.7 对于教学的建议92

3.7.1 学习要点92

3.7.2 一题多解93

3.7.3 参考题95

第一组参考题95

第二组参考题96

第四章 函数极限97

4.1 函数极限的定义97

4.1.1 函数极限的基本类型97

4.1.2 函数极限的其他类型98

4.1.3 思考题98

4.1.4 例题99

4.1.5 练习题102

4.2 函数极限的基本性质103

4.2.1 基本性质103

4.2.2 基本命题104

4.2.3 思考题107

4.2.4 例题107

4.2.5 练习题109

4.3 两个重要极限110

4.3.1 lim x→0 sin x／x＝1110

4.3.2 lim x→0 （1＋x） l／x＝e111

4.3.3 例题112

4.3.4 练习题114

4.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较114

4.4.1 记号o，O与～115

4.4.2 思考题117

4.4.3 等价量代换法119

4.4.4 练习题121

4.5 对于教学的建议122

4.5.1 学习要点122

4.5.2 参考题122

第五章 连续函数124

5.1 连续性概念124

5.1.1 内容提要124

5.1.2 思考题125

5.1.3 例题125

5.1.4 练习题128

5.2 零点存在定理与介值定理129

5.2.1 定理的证明129

5.2.2 例题132

5.2.3 练习题133

5.3 有界性定理与最值定理134

5.3.1 定理的证明135

5.3.2 例题136

5.3.3 练习题136

5.4 一致连续性与Cantor定理137

5.4.1 内容提要137

5.4.2 思考题138

5.4.3 Cantor定理的证明138

5.4.4 例题139

5.4.5 练习题142

5.5 单调函数143

5.5.1 基本性质143

5.5.2 练习题146

5.6 周期3蕴涵混沌146

5.6.1 动力系统的基本概念147

5.6.2 Li-Yorke的两个定理148

5.7 对于教学的建议152

5.7.1 学习要点152

5.7.2 参考题153

第一组参考题153

第二组参考题154

第六章 导数与微分157

6.1 导数及其计算157

6.1.1 内容提要157

6.1.2 思考题158

6.1.3 例题159

6.1.4 练习题166

6.2 高阶导数及其他求导法则167

6.2.1 高阶导数计算167

6.2.2 隐函数求导法171

6.2.3 参数方程求导法174

6.2.4 练习题176

6.3 一阶微分及其形式不变性177

6.3.1 基本概念177

6.3.2 微分与近似计算177

6.3.3 一阶微分的形式不变性179

6.3.4 练习题180

6.4 对于教学的建议181

6.4.1 学习要点181

6.4.2 参考题181

第一组参考题181

第二组参考题183

第七章 微分学的基本定理185

7.1 微分学中值定理185

7.1.1 基本定理185

7.1.2 导函数的两个定理193

7.1.3 例题196

7.1.4 练习题200

7.2 Taylor定理202

7.2.1 基本定理203

7.2.2 例题209

7.2.3 Euler数与Bernoulli数214

7.2.4 练习题218

7.3 对于教学的建议220

7.3.1 学习要点220

7.3.2 参考题221

第一组参考题221

第二组参考题223

第八章 微分学的应用226

8.1 函数极限的计算226

8.1.1 L’Hospital法则226

8.1.2 Taylor公式与极限计算229

8.1.3 练习题234

8.2 函数的单调性235

8.2.1 例题235

8.2.2 练习题238

8.3 函数的极值与最值238

8.3.1 例题239

8.3.2 练习题242

8.4 函数的凸性243

8.4.1 基本命题243

8.4.2 练习题249

8.5 不等式250

8.5.1 例题250

8.5.2 用凸性证不等式255

8.5.3 练习题258

8.6 函数作图260

8.6.1 例题261

8.6.2 练习题263

8.7 方程求根与近似计算264

8.7.1 迭代算法的收敛速度264

8.7.2 Newton求根法268

8.7.3 练习题272

8.8 对于教学的建议272

8.8.1 学习要点272

8.8.2 参考题274

第一组参考题274

第二组参考题275

第九章 不定积分278

9.1 不定积分的计算方法278

9.1.1 内容提要278

9.1.2 思考题278

9.1.3 基本计算方法279

9.1.4 例题281

9.1.5 特殊计算方法285

9.1.6 练习题288

9.2 几类可积函数289

9.2.1 有理函数的积分289

9.2.2 三角函数有理式的积分291

9.2.3 无理函数积分的例子293

9.2.4 练习题296

9.3 对于教学的建议297

9.3.1 学习要点297

9.3.2 参考题298

第十章 定积分299

10.1 定积分概念与可积条件299

10.1.1 定积分的定义299

10.1.2 可积条件300

10.1.3 练习题304

10.2 定积分的性质306

10.2.1 积分中值定理306

10.2.2 例题307

10.2.3 对积分求极限309

10.2.4 练习题313

10.3 变限积分与微积分基本定理314

10.3.1 主要命题314

10.3.2 例题315

10.3.3 练习题318

10.4 定积分的计算319

10.4.1 计算公式与法则319

10.4.2 例题320

10.4.3 对称性在定积分计算中的应用323

10.4.4 用递推方法求定积分325

10.4.5 积分中值定理的应用327

10.4.6 练习题329

10.5 对于教学的建议331

10.5.1 学习要点331

10.5.2 参考题332

第一组参考题332

第二组参考题334

第十一章 积分学的应用336

11.1 积分学在几何计算中的应用336

11.1.1 基本公式与方法336

11.1.2 例题337

11.1.3 Guldin定理341

11.1.4 练习题343

11.2 不等式344

11.2.1 凸函数不等式344

11.2.2 Schwarz积分不等式346

11.2.3 其他著名积分不等式348

11.2.4 不等式的其他例题350

11.2.5 练习题353

11.3 积分估计与近似计算354

11.3.1 积分值的估计354

11.3.2 积分的近似计算356

11.3.3 练习题359

11.4 积分学在分析中的其他应用360

11.4.1 利用定积分求数列极限360

11.4.2 Wallis公式与Stirling公式362

11.4.3 Taylor公式的积分型余项365

11.4.4 π的无理性证明367

11.4.5 练习题368

11.5 对于教学的建议369

11.5.1 学习要点369

11.5.2 参考题370

第一组参考题370

第二组参考题372

第十二章 广义积分375

12.1 广义积分的定义375

12.1.1 基本定义375

12.1.2 广义积分与和式极限377

12.1.3 练习题378

12.2 广义积分的敛散性判别法379

12.2.1 敛散性判别法379

12.2.2 例题382

12.2.3 练习题387

12.3 广义积分的计算388

12.3.1 例题388

12.3.2 几个特殊广义积分的计算390

12.3.3 练习题393

12.4 广义积分的特殊性质395

12.4.1 收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质395

12.4.2 练习题397

12.5 对于教学的建议398

12.5.1 学习要点398

12.5.2 参考题398

第一组参考题398

第二组参考题401

参考题提示403

参考文献417

中文名词索引419

外文名词索引423