图书介绍

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变分法基础
  • 老大中著 著
  • 出版社： 国防工业出版社
  • ISBN：
  • 出版时间：2007
  • 标注页数：472页
  • 文件大小：17MB
  • 文件页数：488页
  • 主题词：

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图书目录

第1章　预备知识1

1.1　泰勒公式1

1.1.1 一元函数的情形1

1.1.2 多元函数的情形1

1.2　含参变量的积分3

1.3　场论基础5

1.3.1 方向导数及梯度5

1.3.2 向量场的通量和散度8

1.3.3 高斯定理与格林公式10

1.3.4 向量场的环量与旋度15

1.3.5 斯托克斯定理18

1.3.6 梯度、散度和旋度表示的统一高斯公式18

1.4　直角坐标与极坐标的坐标变换19

1.5　变分法基本引理22

1.6　求和约定、克罗内克尔符号和排列符号26

1.7　张量的基本概念29

1.7.1 直角坐标旋转变换29

1.7.2 笛卡儿二阶张量30

1.7.3 笛卡儿张量的代数运算32

1.7.4 张量的商定律33

1.7.5 二阶张量的主轴、特征值和不变量33

1.7.6 笛卡儿张量的微分运算35

1.8　常用不等式36

1.9　名家介绍40

习题143

第2章　固定边界的变分问题45

2.1　古典变分问题举例45

2.2　变分法的基本概念47

2.3　最简泛函的变分与极值的必要条件53

2.4　最简泛函的欧拉方程62

2.5　欧拉方程的几种特殊类型及其积分68

2.6　依赖于多个一元函数的变分问题75

2.7　依赖于高阶导数的变分问题77

2.8　依赖于多元函数的变分问题84

2.9　完全泛函的变分问题93

2.10　欧拉方程的不变性97

2.11　名家介绍103

习题2106

第3章　泛函极值的充分条件112

3.1　极值曲线场112

3.2　雅可比条件和雅可比方程113

3.3　魏尔斯特拉斯函数与魏尔斯特拉斯条件117

3.4　勒让德条件120

3.5　泛函极值的充分条件121

3.5.1 魏尔斯特拉斯充分条件121

3.5.2 勒让德充分条件124

3.6　泛函的高阶变分128

3.7　名家介绍132

习题3133

第4章　可动边界的变分问题135

4.1　最简泛函的变分问题135

4.2　含有多个函数的泛函的变分问题146

4.3　含有高阶导数的泛函的变分问题153

4.3.1 泛函含有一个未知函数二阶导数的情形153

4.3.2 泛函含有一个未知函数多阶导数的情形156

4.3.3　泛函含有多个未知函数多阶导数的情形160

4.4　含有多元函数的泛函的变分问题163

4.5　具有尖点的极值曲线168

4.6　单侧变分问题173

4.7　名家介绍178

习题4179

第5章　条件极值的变分问题181

5.1　完整约束的变分问题181

5.2　微分约束的变分问题185

5.3　等周问题188

5.4　混合型泛函的极值问题196

5.4.1 简单混合型泛函的极值问题196

5.4.2 二维、三维和n维问题的欧拉方程199

5.5　名家介绍201

习题5202

第6章　参数形式的变分问题204

6.1　曲线的参数形式及齐次条件204

6.2　参数形式的等周问题和测地线205

6.3　可动边界参数形式泛函的极值211

习题6213

第7章　变分原理215

7.1　集合与映射215

7.2　集合与空间218

7.3　标准正交系与傅里叶级数225

7.4　算子与泛函227

7.5　泛函的导数234

7.6　算子方程的变分原理236

7.7　与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题238

7.8　与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题243

7.9　弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式248

7.10　名家介绍253

习题7256

第8章　变分问题的直接方法258

8.1　极小（极大）化序列258

8.2　欧拉有限差分法260

8.3　里茨法262

8.4　坎托罗维奇法266

8.5　伽辽金法267

8.6　最小二乘法277

8.7　算子方程的特征值和特征函数277

8.8　名家介绍287

习题8288

第9章　力学中的变分原理及其应用291

9.1　力学的基本概念291

9.1.1 力学系统291

9.1.2 约束及其分类292

9.1.3 实位移与虚位移292

9.1.4 应变与位移的关系293

9.1.5 功与能293

9.2　虚位移原理298

9.2.1 质点系的虚位移原理298

9.2.2 弹性体的广义虚位移原理299

9.2.3 弹性体的虚位移原理301

9.3　最小势能原理304

9.4　余虚功原理307

9.5　最小余能原理310

9.6　哈密顿原理及其应用311

9.6.1 质点系的哈密顿原理311

9.6.2 弹性体的哈密顿原理321

9.7　赫林格—赖斯纳广义变分原理328

9.8　胡海昌—鹫津久一郎广义变分原理330

9.9　莫培督—拉格朗日最小作用量原理333

9.10　名家介绍336

习题9337

附录1 习题全解341

第1章　预备知识习题解341

第2章　固定边界的变分问题习题解345

第3章　泛函极值的充分条件习题解369

第4章　可动边界的变分问题习题解380

第5章　条件极值的变分问题习题解394

第6章　参数形式的变分问题习题解407

第7章　变分原理习题解413

第8章　变分问题的直接方法习题解420

第9章　力学中的变分原理及其应用习题解441

附录2 索引455

参考文献471

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