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第1部分 数学物理方程3

第1章 方程的导出和定解条件3

1.1 概念3

1.1.1 有关数学物理方程的一些概念3

1.1.2 定解条件和定解问题4

1.1.3 解的适定性6

1.1.4 数学物理方程研究的内容6

1.2 三类方程的导出及定解问题的提法6

1.2.1 热传导方程及其定解问题6

1.2.2 波动方程及其定解问题9

1.2.3 位势方程及其定解问题11

1.3 预备知识12

1.3.1 有关常微分方程中的一些知识12

1.3.2 线性方程解的叠加原理12

1.3.3 二阶线性常微分方程的常数变异法13

1.3.4 二阶线性齐次常微分方程的幂级数解法13

1.4 小结14

1.4.1 基本概念14

1.4.2 定解问题14

1.4.3 主要数学家介绍15

1.5 习题16

第2章 行波法（达朗贝尔法）18

2.1 一维波动问题18

2.1.1 Duhamel原理18

2.1.2 无界弦的自由振动（一维波动方程的柯西问题）19

2.1.3 半无界弦的自由振动20

2.1.4 无界弦的强迫振动21

2.2 高维波动问题22

2.2.1 空间齐次波动问题22

2.2.2 二维波动方程的初值问题（降维法）24

2.3 小结26

2.4 习题26

第3章 分离变量法28

3.1 引言28

3.2 直角坐标系下齐次方程齐次边界条件问题29

3.2.1 一维弦的自由振动问题29

3.2.2 一维细杆的热传导问题31

3.2.3 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题33

3.3 直角坐标系下非齐次方程齐次边界条件问题34

3.3.1 引言34

3.3.2 问题模型34

3.3.3 求解方法34

3.4 直角坐标系下齐次方程非齐次边界条件问题35

3.4.1 引言35

3.4.2 求解方法35

3.4.3 例题解析36

3.5 极坐标系下的分离变量法37

3.5.1 引言37

3.5.2 问题模型37

3.5.3 求解方法38

3.5.4 例题解析39

3.6 球坐标系下拉普拉斯方程的求解问题39

3.6.1 勒让德方程的引出39

3.6.2 勒让德方程的求解及勒让德函数的性质41

3.6.3 勒让德函数及性质的应用——例题解析42

3.7 柱坐标系下拉普拉斯方程的求解问题43

3.7.1 贝塞尔方程的引出43

3.7.2 贝塞尔方程的解及贝塞尔函数的性质44

3.7.3 贝塞尔函数的应用——例题解析46

3.8 小结47

3.9 习题49

第4章 积分变换法51

4.1 引言51

4.2 傅里叶变换及应用52

4.2.1 傅里叶变换的定义52

4.2.2 傅里叶变换的性质52

4.2.3 使用傅里叶变换时应注意的问题53

4.2.4 傅里叶变换在定解问题中的应用——例题解析53

4.3 拉普拉斯变换及应用55

4.3.1 拉普拉斯变换的概念55

4.3.2 拉普拉斯变换的性质55

4.3.3 拉普拉斯变换性质的简单应用——例题解析56

4.3.4 拉普拉斯变换在定解问题中的应用——例题解析57

4.4 小结58

4.5 习题59

第5章 格林函数法60

5.1 调和函数及性质60

5.1.1 格林公式60

5.1.2 调和函数及其积分表达式61

5.1.3 调和函数的性质62

5.2 格林函数及应用63

5.2.1 格林函数的定义63

5.2.2 格林函数的求法和边值问题的解64

5.3 小结66

5.4 习题66

第6章 变分法初步68

6.1 变分问题的引出及最简变分问题的解法68

6.1.1 变分法的基本引理68

6.1.2 泛函取极值的必要条件69

6.1.3 例题验证69

6.2 变分法的应用——例题解析69

6.3 极小曲面问题研究状况综述72

6.3.1 极小曲面的概念72

6.3.2 有关极小曲面问题72

6.4 小结77

6.5 习题77

部分习题参考答案79

参考文献82

第2部分 数学物理方程反问题研究有关数学物理方程的反问题87

热传导方程反问题的存在性（一）92

热传导方程反问题的存在性（二）99

一类抛物型方程的反问题104

非线性热传导方程的反问题113

热传导方程的反问题120

一类双曲方程反问题的存在性及唯一性125