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第一章 引言1

1．1 实数连续统1

a．自然数系及其扩充．计数和度量2

b．实数和区间套7

c．十进小数．其他进位制9

d．邻域的定义13

e．不等式14

1．2 函数的概念19

a．映射——图形21

b．单连续变量的函数概念的定义．函数的定义域和值域24

c．函数的图形表示．单调函数27

d．连续性34

e．中间值定理．反函数47

1．3 初等函数51

a．有理函数51

b．代数函数52

c．三角函数53

d．指数函数和对数函数55

e．复合函数．符号积．反函数56

1．4 序列60

1．5 数学归纳法61

1．6 序列的极限65

a．an＝1/n66

b．a2m＝1/m；a2_(m－1)＝1/2m67

c．an＝n/(n＋1)68

d．an＝n?p69

e．an＝an70

f．an和n?p的极限之几何解释71

g．几何级数73

h．an＝n?n74

i．an＝?n＋1－?n75

j．an＝n/an，其中a>175

1．7 再论极限概念76

a．收敛和发散的定义76

b．极限的有理运算77

c．内在的收敛判别法．单调序列79

d．无穷级数及求和符号81

e．数e84

f．作为极限的数π87

1．8 单连续变量的函数的极限概念89

a．初等函数的一些注记94

补篇96

S1 极限和数的概念97

a．有理数98

b．有理区间套序列定义实数99

c．实数的顺序、极限和算术运算101

d．实数连续统的完备性．闭区间的紧致性．收敛判别法则104

e．最小上界和最大下界107

f．有理数的可数性108

S2 关于连续函数的定理110

S3 极坐标112

S4 关于复数的注记114

问题117

第二章 积分学和微分学的基本概念134

2．1 积分135

a．引言135

b．作为面积的积分136

c．积分的分析定义．表示法139

2．2 积分的初等实例143

a．线性函数的积分144

b．x~2的积分146

c．x~α的积分(α是不等于-1的整数)147

d．x~α的积分(α是不等于-1的有理数)150

e．sin x和cos x的积分151

2．3 积分的基本法则153

a．可加性153

b．函数之和的积分．函数与常数乘积的积分155

c．积分的估值156

d．积分中值定理158

2．4 作为上限之函数的积分——不定积分161

a．对数函数的定义163

2．5 用积分定义对数163

b．对数的加法定理165

2．6 指数函数和幂函数168

a．数的e的对数168

b．对数函数的反函数．指数函数169

c．作为幂的极限的指数函数171

d．正数的任意次幂的定义愤172

任一底的指数173

2．7 x的任意次幂的积分174

2．8 导数175

a．导数与切线176

b．作为速度的导数183

c．微分法举例184

d．一些基本的微分法则187

e．函数的可微性和连续性187

f．高阶导数及其意义190

g．导数和差商．莱布尼兹表示法192

h．微分中值定理194

i．定理的证明196

j．函数的线性近似．微分的定义201

k．关于在自然科学中的应用的一点评述206

2．9 积分、原函数和微积分基本定理207

a．不定积分的导数207

b．原函数及其与积分的关系209

c．用原函数计算定积分213

d．例214

补篇 连续函数的定积分的存在性216

问题220

第三章 微分法和积分法227

第一部分 初等函数的微分和积分227

3．1 最简单的微分法则及其应用227

a．微分法则227

b．有理函数的微分法230

c．三角函数的微分法232

a．一般公式233

3．2 反函数的导数233

b．n次幂的反函数：n次根236

c．反三角函数——多值性237

d．相应的积分公式241

e．指数函数的导数与积分243

3．3 复合函数的微分法244

a．定义244

b．链式法则244

c．广义微分中值定理249

3．4 指数函数的某些应用250

a．用微分方程定义指数函数251

b．连续复利．放射性蜕变251

c．物体被周围介质冷却或加热253

d．大气压随地面上的高度的变化254

e．化学反应过程255

f．电路的接通或断开255

3．5 双曲函数256

a．分析的定义256

b．加法定理和微分公式259

c．反双曲函数260

d．与三角函数的其他相似性262

3．6 最大值和最小值问题265

a．曲线的下凸和上凸265

b．最大值和最小值——极值问题．平稳点267

a．量阶的概念．最简单的情形278

3．7 函数的量阶278

b．指数函数与对数函数的量阶279

c．一点注记281

d．在一点的邻域内函数的量阶282

e．函数趋向于零的量阶283

f．量阶的“O”和“O”表示法283

附录286

A1 一些特殊的函数286

a．函数y=e~-x~2287

b．函数y=e~-x288

c．函数y=tanh1/x288

d．函数y=xtanh1/x289

e．函数y=xsin1/x，y(0)=0290

A2 关于函数可微性的注记291

第二部分 积分法293

3．8 初等积分表295

3．9 换元法296

a．换元公式．复合函数的积分296

b．换元公式的另一种推导方法301

c．例．积分公式303

3．10 换元法的其他实例304

3．11 分部积分法308

a．一般公式308

b．分部积分的其他例子310

c．关于f(b)＋f(a)的积分公式311

d．递推公式312

e．π的沃里斯(Wallis)无穷乘积表示314

3．12 有理函数的积分法317

a．基本类型318

b．基本类型的积分319

c．部分分式321

d．分解成部分分式举例．待定系数祛323

3．13 其他几类函数的积分法326

a．圆和双曲线的有理表示法初阶326

b．R(cos x，sin x)的积分法329

e．R(x，?x~2－1)的积分法330

c．R(cosh x，sinh x)的积分法330

d．R(x，?1－x~2)的积分法330

f．R(x，?x~2＋1)的积分法331

g．R(x，?ax~2＋2bx＋c)的积分法331

b．化为有理函数积分的其他例子332

i．注记333

第三部分 积分学的进一步发展334

3．14 初等函数的积分334

a．用积分定义的函数．椭圆积分和椭圆函数334

3．15 积分概念的推广337

a．引言．反常积分的定义337

b．关于微分和积分337

b．无穷间断的函数340

c．作为面积的解释341

d．收敛判别法342

e．无穷区间上的积分343

f．Γ(伽玛)函数345

g．狄利克雷(Dirichlet)积分347

h．变量置换．菲涅耳(Fresnel)积分348

3．16 三角函数的微分方程350

a．关于微分方程的初步说明350

b．由微分方程和初始条件定义的sin x和cos x350

问题352