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绪论　高等代数的内容、方法和意义1

预备章　集论语言·数域6

1　集合6

2　映射8

2.1　映射的概念8

2.2　映射的合成9

3　数学归纳法11

4　整数算术15

4.1　整除的概念15

4.2　最大公因数15

4.3　算术基本定理16

5　数环和数域17

第一章　矩阵20

1　消元法20

2　矩阵的运算25

2.1　矩阵的实例和记号25

2.2　矩阵的运算28

2.3　矩阵的转置32

3　可逆矩阵初等矩阵35

3.1　可逆矩阵的概念35

3.2　初等变换与初等矩阵36

3.3　求逆矩阵的初等变换法39

4　分块矩阵42

4.1　矩阵的分块形式42

4.2　分块矩阵的运算43

4.3　分块矩阵的初等变换46

应用参考1　电力系统潮流计算中结点阻抗矩阵的分块公式49

5　解题探索152

5.1　特殊矩阵52

5.2　交换性问题53

5.3　初等变换与可逆矩阵54

第二章　行列式59

1　行列式的定义59

1.1　排列的奇偶性59

1.2　n阶行列式的定义61

2　行列式的性质65

3　行列式的定理70

3.1　乘法定理70

3.2　按一行（列）展开定理72

3.3　Laplace展开定理75

阅读参考1　关于行列式的定义79

4　行列式的算法80

4.1　基本算法80

4.2　化简技巧84

4.3　辅助算法85

5　行列式的应用89

5.1　逆矩阵的行列式公式89

5.2　Cramer法则90

应用参考2　三角形面积的行列式公式93

6　矩阵的秩97

6.1　矩阵秩的概念97

6.2　矩阵秩的分块方法99

7　解题探索2102

7.1　行列式计算一题多解例析102

7.2　含Schur补的行列式公式、秩公式104

7.3　Cauchy-Binet公式105

第三章　线性方程组理论110

1　n维列（行）向量张成的向量空间110

1.1　向量空间Fn110

1.2　Fn的线性子空间113

2　向量的线性相关性115

2.1　线性相关与线性无关的概念115

2.2　替换定理119

3　维数、秩及其应用121

3.1　基和维数122

3.2　矩阵的行秩和列秩124

3.3　线性方程组解的两个基本问题124

4　线性方程组解的结构127

4.1　齐次线性方程组情形127

4.2　非齐次线性方程组情形·线性流形131

5　线性方程组理论的几何应用135

5.1　诸平面过一条直线问题135

5.2　四点共圆问题136

5.3　一般二次曲线方程的求解137

5.4　空间五点的Cayley定理和应用138

应用参考3　平板的受热问题142

6　广义逆矩阵144

6.1　Moore-Penrose型广义逆144

6.2　（1）-逆对线性方程组的应用147

阅读参考2　两类线性矩阵方程的通解149

7　解题探索3150

7.1　矩阵的奇异性问题151

7.2　矩阵的列空间与零空间153

7.3　矩阵的满秩分解及其应用154

阅读参考3　幂等、对合矩阵的相似化简156

综合应用1　投入产出方法选介158

第四章　多项式环165

1　一元多项式环165

1.1　一元多项式环的概念165

1.2　多项式的次数167

阅读参考4　环的概念169

2　整除的概念170

2.1　带余除法171

2.2　整除的概念172

3　最大公因式175

3.1　最大公因式的概念175

3.2　互素多项式179

阅读参考5　最小公倍式182

4　因式分解定理183

4.1　不可约多项式的概念183

4.2　唯一分解定理184

4.3　重因式187

5　多项式函数190

5.1　一元多项式函数190

5.2　多项式的根193

5.3　函数定义与形式定义的一致性194

应用参考4　多项式在建模中的应用196

6　复数域和实数域上多项式199

6.1　C上多项式的因式分解199

6.2　R上多项式的因式分解202

6.3　Viète定理204

阅读参考6　多项式根计算的两个定理207

7　有理数域上多项式209

7.1　可约性及其判别210

7.2　有理根的求解213

阅读参考7　Kronecker定理217

8　多元多项式环218

8.1　多元多项式环的概念218

8.2　多元多项式的表示221

8.3　多元多项式的函数226

9　对称多项式228

9.1　对称多项式的基本定理228

9.2　一元多项式根的对称多项式235

阅读参考8　多元多项式的因式分解237

10　二元高次方程组239

10.1　结式的概念239

10.2　二元高次方程组的求解241

11　解题探索4245

11.1　整除问题的解法245

11.2　最大公因式问题247

11.3　因式分解问题250

11.4　多项式函数、根的问题251

第五章　二次型253

1　二次型的矩阵表示253

1.1　二次型的矩阵253

1.2　矩阵合同的概念255

2　化二次型为标准形257

2.1　配平方方法257

2.2　矩阵合同变换方法260

3 C、R上二次型的规范形265

3.1　复二次型的规范形265

3.2　惯性定理266

阅读参考9　对因式分解的应用270

4　正定二次型274

4.1　正定二次型的概念274

4.2　正定矩阵275

4.3　其它类型的实二次型注记278

应用参考5　二次型对解极值问题的应用279

5　解题探索5283

5.1　合同化简·惯性定理283

5.2　正定、半正定问题285

5.3　行列式不等式287

第六章 向量空间291

1　向量空间的概念291

1.1　定义公理·例子291

1.2　简单性质293

1.3　子空间295

阅读参考10　关于向量空间的定义297

2　向量的线性相关性300

2.1　基本概念300

2.2　替换定理302

2.3　C（n-1）［a,b］中向量的线性相关性305

3　基、维数、坐标307

3.1　基与维数308

3.2　坐标311

3.3　子空间的维数312

4　基变换与坐标变换314

4.1　基变换314

4.2　坐标变换公式316

5　子空间的运算319

5.1　交与和319

5.2　直和324

阅读参考11 商空间328

6　解题探索6330

6.1　基与维数330

6.2　子空间的运算·直和332

6.3　子空间复盖334

第七章　线性映射·线性变换336

1　线性映射的概念336

1.1　定义与例子336

1.2　值域与核340

1.3　向量空间的同构341

2　线性映射的运算343

2.1　基本运算及其代数系统343

2.2　线性变换的多项式346

3　线性映射（线性变换）的矩阵表示350

3.1　矩阵表示定理350

3.2　矩阵相似的概念354

4　特征值、特征向量与特征多项式356

4.1　定义与求法356

4.2　Hamilton-Cayley定理361

5　可对角化的矩阵365

5.1　特征向量的性质365

5.2　可对角化矩阵的刻画366

应用参考6　可对角化矩阵的应用两例372

6　不变子空间377

6.1　定义与例子377

6.2　线性变换矩阵的化简378

6.3　线性映射的零度和秩380

6.4　空间分解定理382

阅读参考12　关于幂零变换的空间分解385

7　解题探索7389

7.1　值域与核389

7.2　特征值、特征向量和特征多项式391

7.3　不变子空间393

7.4　对角化、三角化问题394

第八章 矩阵相似标准形398

1　λ-矩阵的相抵化简398

1.1　λ-矩阵的概念398

1.2　λ-矩阵的相抵标准形399

2　不变因子·相似准则404

2.1　唯一性—不变因子404

2.2　矩阵相似的条件407

3　有理标准形及其应用411

3.1　有理标准形411

3.2　最小多项式413

阅读参考13　矩阵对合分解的条件416

4　初等因子·Jordan标准形419

4.1　初等因子419

4.2　Jordan标准形423

应用参考7　相似标准形在微分方程组中的应用427

5　解题探索8429

5.1　最小多项式429

5.2　Jordan块的若干变化规律430

5.3　与A可交换的矩阵432

5.4　矩阵有群逆的刻画433

阅读参考14　矩阵函数435

第九章　Euclid空间·酉空间440

1　Euclid空间的概念440

1.1　定义与例子440

1.2　度量性概念442

1.3　n维Euclid空间的度量矩阵446

阅读参考15　赋范空间448

2　标准正交基449

2.1　正交向量组的性质450

2.2　标准正交基451

2.3　n维Euclid空间的同构454

3　正交子空间457

3.1　正交和457

3.2　正交补457

3.3　应用：最小二乘法460

4　正交变换464

4.1　正交变换的概念464

4.2　n维Euclid空间的正交变换465

4.3　几何空间中正交变换的类型466

5　对称变换470

5.1　对称变换的刻画470

5.2　对称变换的化简472

5.3　应用：二次型的正交合同（相似）化简475

阅读参考16　正规变换478

6　酉空间及其特殊线性变换481

6.1　酉空间481

6.2　酉变换和对称变换482

6.3　Hermite型483

7　解题探索9486

7.1　内积技巧486

7.2　正交变换489

7.3　对称变换490

8　矩阵的奇异值分解494

8.1　矩阵的正交对角分解494

8.2　矩阵的奇异值与奇异值分解495

8.3　矩阵正交相抵的概念499

应用参考8　在系统描述和辨识中的应用500

第十章　双线性函数505

1　对偶空间505

1.1　线性函数505

1.2　对偶空间507

1.3　双重对偶空间510

2　双线性函数514

2.1　定义与例子514

2.2　度量矩阵515

2.3　非退化情形517

3　对称、反对称双线性函数519

3.1　基本概念519

3.2　对称双线性函数的化简520

3.3　对称双线性函数与二次函数的关系522

3.4　反对称双线性函数的化简523

阅读参考17　线性函数的张量积526

4　具有对称、反对称双线性函数的向量空间530

4.1　正交空间530

4.2　辛空间537

阅读参考18　群·Erlangen纲领542

参考文献548