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目 录1

第1章绪论1

1.0引言1

1.0.1计算环境和程序有效性2

1.0.2和本书第一版的兼容性2

1.0.3关于参考文献3

1.1程序组织和控制结构3

1.1.1控制结构5

1.1.2标准结构目录7

1.1.3关于“深入讨论”10

1.2科学计算的C约定11

1.2.1函数原型和头文件12

1.2.2向量和一维数组13

1.2.3矩阵和二维数组14

1.2.4复数运算16

1.2.5浮点数到双精度数的隐式转换17

1.2.6一些技巧17

1.3误差、准确性和稳定性19

第2章线性代数方程组求解22

2.0引言22

2.0.1非奇异与奇异方程组22

2.0.2矩阵22

2.0.3线性代数数值计算的任务23

2.0.4标准程序包24

2.1 Gauss-Jordan消去法24

2.1.1列增广矩阵消去法25

2.1.2选主元法26

2.1.3深入讨论：行和列消去法策略27

2.2代过程的高斯消去法28

2.2.1回代过程28

2.3 LU分解法及其应用29

2.3.1进行LU分解30

2.3.2矩阵的求逆33

2.3.3矩阵的行列式34

2.3.4深入讨论：复数系统方程34

2.4三对角及带状对角系统方程35

2.4.1深入讨论：带状对角系统36

2.5线性方程组解的迭代改进39

2.5.1深入讨论：关于解的迭代改进的更多讨论40

2.6奇异值分解42

2.6.1方阵的SVD43

2.6.2方程个数少于未知数个数的SVD46

2.6.3方程个数多于未知数个数的SVD46

2.6.4构造标准正交基46

2.6.5矩阵的近似47

2.6.6 SVD算法47

2.7稀疏线性方程组50

2.7.1 Sherman-Morrison公式52

2.7.2周期三对角方程组53

2.7.3深入讨论：Woodbury公式54

2.7.4分区求逆55

2.7.5深入讨论：稀疏矩阵的索引存储55

2.7.6深入讨论：共轭梯度法求解稀疏方程组61

2.8 Vandermonde矩阵和Toeplitz矩阵66

2.8.1深入讨论：Vandermonde矩阵66

2.8.2深入讨论：Toeplitz矩阵68

2.9深入讨论：Cholesky分解71

2.10深入讨论：QR分解73

2.10.1深入讨论：更新QR分解75

2.11矩阵求逆是否是N3阶运算76

第3章内插法和外推法79

3.0引言79

3.1多项式内插法和外推法81

3.2有理函数内插法和外推法83

3.3三次样条插值85

3.4搜索有序表的方法87

3.4.1用相关数值进行搜索88

3.4.2写在Hunt之后89

3.5插值多项式的系数90

3.5.1其他方法91

3.6二维或高维插值92

3.6.1用更高的阶获得高精度93

3.6.2用更高的阶获得高平滑度：双三次插值93

3.6.3用更高的阶获得高平滑度：双三次样条95

第4章函数积分97

4.0引言97

4.1坐标等距划分的经典公式98

4.1.1 Newton-Cotes闭型公式98

4.1.3扩展公式（闭型）99

4.1.2单个区间的外推公式99

4.1.4扩展公式（开型与半开型）100

4.2基本算法101

4.3龙贝格积分104

4.4广义积分105

4.5高斯求积法与正交多项式109

4.5.1坐标点和权的计算111

4.5.2深入讨论：递推式已知时的情况116

4.5.3深入讨论：具有非经典权的正交多项式117

4.5.4高断积分推广119

4.6多维积分120

5.1.1 加速级数收敛124

5.1级数与其收敛性124

5.0 引 言124

第5章函数求值124

5.2连分式求值126

5.2.1连分式处理128

5.3多项式和有理函数129

5.3.1有理函数131

5.4复数运算132

5.5递推关系及Clenshaw递推公式133

5.5.1递推式的稳定性133

5.5.2 Clenshaw递推公式135

5.6 二次方程和三次方程136

5.7数值求导137

5.8切比雪夫逼近140

5.9切比雪夫逼近函数的微分和积分143

5.9.1深入讨论：Clenshaw-Curtis积分法144

5.10切比雪夫系数的多项式逼近145

5.1 1深入讨论：幂级数化简146

5.12深入讨论：帕德逼近148

5.13深入讨论：有理切比雪夫逼近150

5.14线积分求函数值154

第6章特殊函数156

6.0 引言156

6.1 Γ函数、B函数、阶乘、二项式系数156

6.2 不完全г函数、误差函数、x2概率函数、累积泊松函数159

6.2.1 误差函数162

6.2.3x2概率函数163

6.3指数积分163

6.2.2累积泊松概率函数163

6.4 不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布166

6.4.1学生分布概率函数169

6.4.2 F分布概率函数169

6.4.3累积二项式概率分布169

6.5整数阶贝塞尔函数170

6.6修正的整数阶贝塞尔函数175

6.7深入讨论：分数阶贝塞尔函数、艾里函数、球面贝塞尔函数179

6.7.1 一般贝塞尔函数179

6.7.2修正贝塞尔函数184

6.7.3艾里函数188

6.7.4球面贝塞尔函数189

6.8球面调和函数190

6.9.1菲涅耳积分192

6.9菲涅耳积分、余弦和正弦积分192

6.9.2余弦和正弦积分194

6.10 Dawson积分195

6.11椭圆积分和雅可比椭圆函数197

6.11.1雅可比椭圆函数204

6.12超几何函数206

第7章随机数209

7.0引言209

7.1一致偏离209

7.1.1系统提供的随机数生成程序210

7.1.2可移植的随机数生成程序212

7.1.3深入讨论：快速而略有缺陷的生成程序217

7.1.4深入讨论：更快的生成程序217

7.2变换方法：指数偏离和正态偏离219

7.1.5相对的执行时间和建议219

7.2.1指数偏离220

7.2.2 正态（高斯）偏离221

7.3拒绝方法：伽马偏离、泊松偏离、二项偏离223

7.3.1伽马分布224

7.3.2泊松偏离225

7.3.3二项偏离227

7.4随机位的生成228

7.5深入讨论：基于数据加密的随机序列231

7.6简单的蒙特卡罗积分235

7.7准随机序列239

7.8.1重要取样244

7.7.1拉丁超立方244

7.8深入讨论：自适应及递归蒙特卡罗方法244

7.8.2分层取样245

7.8.3混合策略246

7.8.4自适应蒙特卡罗：VEGAS247

7.8.5递归分层取样251

第8章排序252

8.0引言252

8.1直接插入法和Shell方法253

8.1.1 Shell方法253

8.2快速排序法254

8.3堆积排序法257

8.4索引和分秩259

8.5挑选第M大的元素261

8.6深入讨论：等价类的确定264

第9章求根与非线性方程组266

9.0引言266

9.1划界与二分268

9.1.1二分法270

9.2弦截法、试位法和Ridders方法271

9.2.1 Ridders方法274

9.3 Van Wijngaarden-Dekker-Brent方法275

9.4利用导数的Newton-Raphson方法277

9.4.1 Newton-Raphson方法和分形281

9.5多项式的根282

9.5.1多项式的降阶283

9.5.3拉盖尔方法284

9.5.2 Muller方法284

9.5.4本征值方法287

9.5.5其他可靠的求根方法288

9.5.6根修正的技巧288

9.6非线性方程系统的Newton-Raphson方法290

9.6.1牛顿法与极小化292

9.7非线性方程系统的全局收敛法293

9.7.1深入讨论：线性搜索和回溯293

9.7.2深入讨论：多维弦截法——Broyden方法298

9.7.3深入讨论：更先进的实现301

第10章函数的极值303

10.0引言303

10.1一维黄金分割搜索305

10.1.1确定初始划界为极小的例程306

10.1.2黄金分割搜索方法的例程308

10.2抛物线内插和一维Brent方法308

10.3使用一阶导数的一维搜索方法311

10.4多维下降单纯形法313

10.5多维情况下的方向集（Powell）方法316

10.5.1共轭方向317

10.5.2 Powell二次收敛方法318

10.5.3舍弃函数值下降最多的方向319

10.5.4线性极小化的实现320

10.6多维共轭梯度法322

10.6.1有关利用导数的线性极小化之说明324

10.7多维变度量法326

10.7.1深入讨论：变度量法的进一步实现329

10.8.1线性规划基本定理330

10.8线性规划和单纯形法330

10.8.2关于约束标准形式的单纯形法332

10.8.3将一般问题转化为约束标准形式334

10.8.4单纯形法的例程实现335

10.8.5其他线性规划方法简述339

10.9模拟退火法340

10.9.1组合极小化：旅行推销员问题341

10.9.2模拟退火法在连续极小化问题中的应用346

第11章特征系统350

11.0引言350

11.0.1定义和基本事实350

11.0.3矩阵的对角化351

11.0.2左特征向量和右特征向量351

11.0.4成品化特征系统程序的特征系统软件包352

11.0.5广义的和非线性特征值问题353

11.1对称矩阵的雅可比变换354

11.2将对称矩阵简化为三对角形式：Givens约化和Householder约化358

11.2.1 Givens方法359

11.2.2 Householder方法359

11.3三对角矩阵的特征值和特征向量363

11.3.1特征多项式的赋值363

11.3.2 QR和QL算法363

11.3.3具有隐含位移的QL算法364

11.4埃尔米特矩阵367

11.5.1配平368

11.5将一般矩阵化为Hessenberg形式368

11.5.2约化成Hessenberg形式369

11.6实Hessenberg矩阵的QR算法371

11.7用逆迭代法改进特征值并寻找特征向量376

第12章快速傅里叶变换378

12.0引言378

12.1离散样本数据的傅里叶变换381

12.1.1取样定理与混叠现象381

12.1.2离散傅里叶变换381

12.2快速傅里叶变换（FFT）383

12.2.1其他FFT算法386

12.3实函数的FFT、正弦变换和余弦变换387

12.3.2单个实函数的FFT388

12.3.1两个实函数同时变换388

12.3.3快速正弦和余弦变换390

12.4二维或多维的FFT396

12.5二维和三维实数据的傅里叶变换398

12.6深入讨论：外部存储和局部内存的FFT404

第13章傅里叶和谱的应用408

13.0引言408

13.1使用FFT做卷积和解卷积408

13.1.1用零元填充的终端效应处理409

13.1.2 FFT对卷积的使用410

13.1.3大型数据集的卷积和解卷积412

13.2使用FFT做相关和自相关413

13.3具有FFT的最佳（维纳）滤波414

13.4使用FFT做功率谱估计416

13.4.1数据开窗418

13.5深入讨论：时域中的数字滤波422

13.5.1线性滤波423

13.5.2 FIR（非递推）滤波423

13.5.3 IIR（递推）滤波424

13.6线性预测和线性预测编码426

13.6.1与最佳滤波的联系427

13.6.2线性预测428

13.6.3除掉线性预测的偏差431

13.6.4线性预测编码（LPC）431

13.7深入讨论：用最大熵（全极）方法的功率谱估计432

13.8深入讨论：非均匀取样数据的谱分析434

13.8.1 Lomb周期图快速计算439

13.9深入讨论：使用FFT计算傅里叶积分442

13.10小波变换448

13.10.1Daubechies小波滤波系数448

13.10.2离散小波变换449

13.10.3小波特性453

13.10.4傅里叶域中的小波滤波454

13.10.5被截小波近似455

13.10.6多维小波变换456

13.10.7图像压缩456

13.10.8线性系统的快速求解457

13.11深入讨论：取样定理的数值应用459

14.0引言462

第14章数据的统计描述462

14.1分布的矩：均值、方差、偏斜度等463

14.1.1深入讨论：半不变量465

14.1.2中位数和众数465

14.2两种分布的均值和方差466

14.2.1对于显著不同均值的学生t检验466

14.2.2对于显著不同方差的F检验468

14.3两种分布是否不同469

14.3.1x2检验470

14.3.2 K-S检验471

14.3.3深入讨论：K-S检验的变形474

14.4两种分布的列联表分析475

14.4.1基于x2的关联测度476

14.4.2基于熵的关联测度478

14.5线性相关481

14.6非参数相关或秩相关483

14.6.1 Spearman秩阶相关系数484

14.6.2 Kendall的τ486

14.7深入讨论：二维分布488

14.8深入讨论：Savitzky-Golay平滑滤波器492

第15章数据建模497

15.0引言497

15.1最大似然估计的最小二乘方法497

15.1.1 x2拟合499

15.2拟合数据成直线500

15.3深入讨论：两个坐标数据都有误差的直线拟合504

15.4.1利用正规方程组求解508

15.4一般的线性最小二乘方508

15.4.2运用奇异值分解法求解511

15.4.3示例514

15.4.4多维拟合515

15.5非线性模型515

15.5.1梯度和黑塞矩阵的计算516

15.5.2 Levenberg-Marquardt方法517

15.5.3示例520

15.5.4非线性最小二乘方法的更先进方法521

15.6被估模型参数的置信界限521

15.6.1合成数据集的蒙特卡罗模拟522

15.6.2快速粗糙的蒙特卡罗方法：靴带法522

15.6.3置信界限523

15.6.4常数x2边界作为置信界限524

15.6.5正态情况下参数的概率分布525

15.6.6奇异值分解下的置信界限527

15.7稳健估计528

15.7.1用局部M估计法估计参数529

15.7.2 M估计的数值计算531

15.7.3通过极小化绝对偏差拟合直线531

15.7.4其他的稳健估计方法533

第16章常微分方程的积分534

16.0引言534

16.1 Runge-Kutta方法536

16.2 Runge-Kutta方法的自适应步长控制539

16.3修正中点法545

16.4 Richardson外推法和Bulirsch-Stoer方法546

16.5深入讨论：二阶守恒方程组553

16.6方程的刚性集555

16.6.1深入讨论：Rosenbrock方法557

16.6.2深入讨论：半隐式外推算法562

16.7多步法、多值法和预测－校正法567

第17章两点边界值问题570

17.0引言570

17.0.1能用标准边界值问题求解的问题571

17.1 打靶法572

17.2射向某一拟合点574

17.3深入讨论：松弛法576

17.4实例：球体调和函数584

17.3.1微分方程的“代数困难”集584

17.4.1松弛法586

17.4.2打靶法590

17.4.3射向某一拟合点591

17.5深入讨论：网格点的自动分配592

17.6深入讨论：内部边界条件或奇异点的处理594

第18章积分方程和反演理论597

18.0引言597

18.1第二类Fredholm方程599

18.2 Volterra方程601

18.3深入讨论：具有奇异核的积分方程602

18.3.1具有任意权的均匀网格上的积分603

18.3.2实例：对角奇异核605

18.4反演问题与先验信息的利用608

18.4.1零阶正则化反演问题609

18.5线性正则化方法611

18.5.1二维问题和迭代方法614

18.5.2确定性约束：凸集投影615

18.6 Backus-Gilbert方法616

18.7最大熵图像恢复618

18.7.1 MEM特性620

18.7.2 MEM的算法621

18.7.3“Bayes”与“历史性”的最大熵622

第19章偏微分方程624

19.0引言624

19.0.1初值问题624

19.0.2边界值问题625

19.0.3有限差分以外的众多方法628

19.1通量守恒的初值问题629

19.1.1von Neumann稳定性分析630

19.1.2 Lax方法631

19.1.3其他种类的误差633

19.1.4时间域上的二阶精确度634

19.1.5含有激波的流体动力学637

19.2扩散初值问题637

19.2.1薛定谔方程641

19.3多维的初值问题642

19.3.1通量守恒方程的Lax方法643

19.3.2多维的扩散问题644

19.3.3一般算子分裂法644

19.4边界值问题的傅里叶方法和循环约简法645

19.4.1傅里叶变换法646

19.4.2循环约简法648

19.4.3 FACR方法649

19.5边界值问题的松弛法649

19.5.1逐次超松弛法651

19.5.2交替方向隐式法654

19.6边界值问题的多重网格法655

19.6.1从一网格，到两网格，再到多网格655

19.6.2光滑、限制及拓展算子657

19.6.3完全多重网格算法659

19.6.4深入讨论：非线性多重网格，FAS算法663

20.0引言670

20.1诊断机器的参数670

第20章非典型的数值算法670

20.2格雷码674

20.3循环冗余度校验和其他种类的校验和式675

20.3.1其他种类的校验和式679

20.4霍夫曼编码与数据压缩680

20.4.1游程编码685

20.5算术编码685

20.6任意精度的运算689

附录A原型声明表699

附录B实用例程708

附录C复数运算715

参考文献717

程序从属表721

各章节的计算机程序734