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第1章 复数和复变函数1

1.1 复数1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 共轭复数及复数的四则运算1

1.2 复平面及复数的三角表达式4

1.2.1 复平面4

1.2.2 复数的模、辐角及三角表达式4

1.2.3 复数模的三角不等式7

1.2.4 利用复数的三角表达式作乘除法8

1.2.5 复数的乘方和开方10

1.3 平面点集12

1.4 复变函数14

1.4.1 复变函数的概念14

1.4.2 复变函数的极限和连续性15

习题117

第2章 解析函数20

2.1 解析函数的概念20

2.1.1 复变函数的导数20

2.1.2 解析函数的概念与求导法则21

2.1.3 函数解析的充要条件22

2.2 解析函数与调和函数的关系27

2.3 初等函数30

2.3.1 指数函数30

2.3.2 对数函数32

2.3.3 幂函数34

2.3.4 三角函数35

习题237

第3章 复变函数的积分39

3.1 复变函数的积分39

3.1.1 复变函数积分的定义39

3.1.2 复变函数积分的基本性质40

3.1.3 复变函数积分的计算方法41

3.2 柯西积分定理44

3.3 柯西积分公式49

习题353

第4章 级数56

4.1 复级数的基本概念56

4.1.1 复数项级数56

4.1.2 复变函数项级数58

4.2 幂级数59

4.3 泰勒级数61

4.4 罗朗级数65

习题470

第5章 留数定理72

5.1 零点与孤立奇点72

5.2 留数定理77

5.3 留数理论在实积分中的应用83

5.3.1 ［0，2π］上三角函数的积分83

5.3.2 （-∞，+∞）上某些函数的广义积分85

5.3.3 积分∫+∞ -∞ R（x）eiaxdx，其中a＞090

习题591

第6章 保形映射93

6.1 保形映射的概念93

6.1.1 导数的几何意义93

6.1.2 保形映射的概念95

6.1.3 解析函数的保域性与边界对应原理96

6.2 分式线性变换97

6.2.1 分式线性变换的分解97

6.2.2 分式线性变换的保形性98

6.2.3 分式线性变换的保对称点性100

6.3 分式线性变换的应用举例102

6.4 几个初等函数的映射107

6.4.1 指数函数ω＝ez107

6.4.2 幂函数ω＝（n＞1）108

习题6110

第7章 傅里叶变换112

7.1 傅里叶变换的概念112

7.1.1 傅里叶积分定理112

7.1.2 傅里叶变换的概念115

7.1.3 单位脉冲函数117

7.2 傅里叶变换的性质120

7.2.1 线性性质120

7.2.2 位移性质120

7.2.3 微分性质121

7.2.4 积分性质122

7.2.5 乘积定理122

7.2.6 能量积分123

7.2.7 卷积定理123

7.3 傅里叶变换的应用125

习题7127

第8章 拉普拉斯变换129

8.1 拉普拉斯变换的概念129

8.1.1 傅里叶变换的局限性129

8.1.2 拉普拉斯变换的定义与存在性定理129

8.1.3 拉普拉斯逆变换公式132

8.2 拉普拉斯变换的性质133

8.2.1 线性性质133

8.2.2 微分性质133

8.2.3 积分性质134

8.2.4 位移性质135

8.2.5 延迟性质135

8.3 卷积及其性质136

8.3.1 卷积的概念136

8.3.2 卷积定理136

8.4 拉普拉斯变换的应用137

习题8139

附录A 傅里叶变换简表141

附录B 拉普拉斯变换简表147

部分习题答案151

参考文献157