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第一部分 代数理论3

第1章 代数数域和代数整数环3

1.1 代数数域3

1.1.1 单扩张定理3

1.1.2 数域的嵌入4

1.1.3 范与迹7

1.1.4 元素的判别式8

1.1.5 单位根11

习题13

1.2 代数整数环14

1.2.1 代数整数14

1.2.2 代数整数环16

1.2.3 整基，数域的判别式18

习题24

第2章 整数环中的素理想分解25

2.1 分解的存在唯一性25

2.1.1 Dedekind整环25

2.1.2 整数环OK是Dedekind整环29

2.1.3 分式理想，理想的范31

习题35

2.2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数37

2.2.1 e,f,g37

2.2.2 素理想分解和多项式分解40

2.2.3 应用：素数在二次域中的分解，二平方和定理42

2.2.4 判别式定理44

2.2.5 应用：纯三次域的整基48

习题50

2.3 伽罗瓦扩域中的素理想分解51

2.3.1 n=efg51

2.3.2 分解群和惯性群53

2.3.3 Frobenius自同构56

2.3.4 素数在分圆域中的分解58

习题60

2.4 Kronecker-Weber定理61

2.4.1 二次域是分圆域的子域61

2.4.2 分歧群和分歧域65

2.4.3 Kronecker-Weber定理67

2.4.4 Abel数域的导子和互反律72

习题74

第3章 理想类群和单位群76

3.1 类群和类数76

3.1.1 Rn中的格，Minkowski定理77

3.1.2 类数有限性定理80

习题86

3.2 Dirichlet单位定理87

3.2.1 Dirichlet单位定理87

3.2.2 实二次域的基本单位，Pell方程91

3.2.3 其他例子95

3.2.4 关于费马猜想的Kummer定理102

习题104

第二部分 解析理论107

第4章 ζ（s），L（s,x）和ζK（s）107

4.1 Dirichlet级数的一般理论107

4.1.1 Dirichlet级数环——形式化理论107

4.1.2 收敛横坐标——解析工具的引入113

习题119

4.2 Riemann zeta函数ζ（s）和Dirichlet L函数L（s,x）120

4.2.1 ζ（s）的函数方程，Riemann猜想120

4.2.2 有限Abel群的特征123

4.2.3 Dirichlet L函数129

4.2.4 Dirichlet级数在负整数处的值，Bernoulli数133

习题138

4.3 Dedekind zeta函数ζK（s）141

4.3.1 留数公式141

4.3.2 ζK（s）的函数方程147

习题149

第5章 密度问题151

5.1 素数定理和素理想定理152

5.1.1 素数定理152

5.1.2 算术级数中的素数定理157

5.1.3 素理想定理158

5.2 密度定理及其应用160

5.2.1 Dirichlet密度160

5.2.2 素理想的分裂和多项式的分裂162

5.2.3 Abel L-函数，Чеботарёв密度定理165

习题170

第6章 Abel数域的类数公式171

6.1 Hasse类数公式171

6.2 二次域的类数公式178

6.3 分圆域的类数公式，Kummer结果182

习题194

附录A 进一步阅读的参考书196

附录B 关于群、环、域的一些知识199

附录C 我怎样走向学习代数数论之路208

附录D 南开忆往215