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第1章 函数、极限与连续1

1.1 集合与映射1

1.1.1 集合、区间与邻域1

1.1.2 映射4

1.1.3 逆映射与复合映射5

习题1.16

1.2 函数6

1.2.1 函数的概念7

1.2.2 函数的基本性质10

1.2.3 函数的运算13

1.2.4 初等函数15

习题1.215

1.3 数列的极限16

1.3.1 引例——极限的由来16

1.3.2 数列极限的定义18

习题1.321

1.4 函数的极限22

1.4.1 函数极限的基本类型22

1.4.2 自变量趋于无穷大时函数的极限22

1.4.3 自变量趋于有限值时函数的极限23

1.4.4 函数极限的性质25

习题1.427

1.5 无穷小与无穷大27

1.5.1 无穷小27

1.5.2 无穷小的比较29

1.5.3 无穷大30

习题1.531

1.6 极限的运算法则31

1.6.1 函数极限的四则运算法则31

1.6.2 复合函数的极限运算法则34

习题1.634

1.7 极限存在准则与两个重要极限35

1.7.1 夹逼准则与lim x→0 sinx/x＝135

1.7.2 单调有界收敛准则与lim x→∞（1＋1/x）x＝e37

习题1.739

1.8 函数的连续性40

1.8.1 函数连续性的概念40

1.8.2 函数的间断点41

1.8.3 连续函数的运算性质44

1.8.4 初等函数的连续性44

习题1.845

1.9 闭区间上连续函数的性质46

1.9.1 有界性与最大最小值定理46

1.9.2 零点定理与介值定理47

习题1.948

复习题148

第2章 导数与微分53

2.1 导数概念53

2.1.1 引例53

2.1.2 导数的定义54

2.1.3 导数的几何意义56

2.1.4 函数可导性与连续性的关系57

习题2.157

2.2 求导法则与基本初等函数的求导公式58

2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则58

2.2.2 反函数的求导法则59

2.2.3 复合函数的求导法则60

2.2.4 基本求导法则与导数公式61

习题2.262

2.3 高阶导数62

2.3.1 高阶导数的定义63

2.3.2 高阶导数的求法63

习题2.365

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数66

2.4.1 隐函数的导数66

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数68

习题2.469

2.5 函数的微分70

2.5.1 微分的定义70

2.5.2 微分的几何意义71

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分法则72

2.5.4 微分在近似计算中的应用73

习题2.575

复习题275

第3章 中值定理与导数的应用80

3.1 中值定理80

3.1.1 费马（Fermat）引理80

3.1.2 罗尔（Rolle）定理80

3.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理81

3.1.4 柯西（Cauchy）中值定理84

3.1.5 泰勒（Taylor）中值定理84

习题3.188

3.2 洛必达法则89

3.2.1 0/0（或∞/∞）型未定式极限的求法89

3.2.2 可以转化为0/0或∞/∞型未定式极限的求法91

习题3.292

3.3 导数在研究函数性态中的应用93

3.3.1 函数的单调性与单调区间93

3.3.2 曲线的凹凸性与拐点95

3.3.3 函数的极值（最值）与极值点（最值点）97

3.3.4 函数图形的描绘100

习题3.3101

3.4 导数在解决实际问题中的应用102

3.4.1 应用导数求解实际生活和生产中的最大值与最小值问题102

3.4.2 应用导数研究曲线的弯曲程度——曲率103

3.4.3 应用导数研究各种变化率问题106

习题3.4107

复习题3107

第4章 不定积分112

4.1 不定积分的概念与性质112

4.1.1 原函数与不定积分的概念112

4.1.2 不定积分的性质116

4.1.3 基本积分表116

习题4.1118

4.2 换元积分法119

4.2.1 第一换元法119

4.2.2 第二换元法123

习题4.2128

4.3 分部积分法129

习题4.3134

4.4 有理函数的积分135

4.4.1 有理函数的积分135

4.4.2 可化为有理函数的积分举例137

4.4.3 积分表的使用139

习题4.4140

复习题4141

第5章 定积分及其应用143

5.1 定积分的概念与性质143

5.1.1 引例143

5.1.2 定积分的定义145

5.1.3 定积分的性质146

习题5.1149

5.2 微积分基本公式150

习题5.2153

5.3 定积分的换元法和分部积分法154

5.3.1 定积分的换元法154

5.3.2 定积分的分部积分法159

习题5.3161

5.4 反常积分162

5.4.1 无穷限的反常积分162

5.4.2 无界函数的反常积分164

习题5.4166

5.5 定积分在几何学上的应用167

5.5.1 定积分的元素法167

5.5.2 平面图形的面积168

5.5.3 体积171

5.5.4 平面曲线的弧长173

习题5.5176

5.6 定积分在物理学上的应用177

习题5.6181

复习题5182

第6章 向量代数与空间解析几何189

6.1 向量及其线性运算189

6.1.1 向量概念189

6.1.2 向量的线性运算189

6.1.3 空间直角坐标系191

6.1.4 利用坐标作向量的线性运算192

6.1.5 向量的模、方向角、投影194

习题6.1196

6.2 数量积、向量积、混合积196

6.2.1 两向量的数量积196

6.2.2 两向量的向量积198

6.2.3 向量的混合积200

习题6.2201

6.3 平面及其方程202

6.3.1 平面的点法式方程202

6.3.2 平面的一般方程203

6.3.3 两平面的夹角204

习题6.3206

6.4 空间直线及其方程206

6.4.1 空间直线的对称式方程和参数方程206

6.4.2 空间直线的一般方程207

6.4.3 两直线的夹角208

6.4.4 直线与平面的夹角208

习题6.4209

6.5 曲面及其方程210

6.5.1 曲面方程的概念210

6.5.2 柱面211

6.5.3 旋转曲面212

6.5.4 二次曲面213

习题6.5217

6.6 空间曲线218

6.6.1 空间曲线的一般方程218

6.6.2 空间曲线的参数方程219

6.6.3 空间曲线在坐标面上的投影220

习题6.6221

复习题6221

第7章 多元函数微积分223

7.1 多元函数的基本概念223

7.1.1 多元函数的概念223

7.1.2 二元函数的图形224

7.1.3 二元函数的极限与连续225

习题7.1227

7.2 偏导数227

7.2.1 偏导数的定义227

7.2.2 高阶偏导数229

习题7.2230

7.3 全微分231

7.3.1 全微分的概念231

7.3.2 全微分在近似计算中的应用233

习题7.3233

7.4 多元复合函数的求导法则234

习题7.4238

7.5 隐函数的求导公式238

习题7.5242

7.6 多元函数微分法在几何上的应用242

7.6.1 空间曲线的切线与法平面242

7.6.2 曲面的切平面与法线247

习题7.6249

7.7 多元函数的极值249

7.7.1 二元函数的极值249

7.7.2 条件极值252

习题7.7254

7.8 二重积分的概念和性质255

7.8.1 二重积分的概念255

7.8.2 二重积分的性质257

习题7.8258

7.9 二重积分的计算法258

7.9.1 利用直角坐标计算二重积分258

7.9.2 利用极坐标计算二重积分262

习题7.9265

7.10 重积分的应用265

7.10.1 曲面的面积266

7.10.2 质心267

习题7.10268

复习题7268

第8章 微分方程272

8.1 微分方程的基本概念272

习题8.1274

8.2 可分离变量的微分方程、齐次方程275

8.2.1 可分离变量的微分方程275

8.2.2 齐次方程276

习题8.2278

8.3 一阶线性微分方程279

习题8.3281

8.4 可降阶的高阶微分方程282

8.4.1 y(h)＝f（x）型的微分方程282

8.4.2 y″＝f（x,y′）型的微分方程282

8.4.3 y″＝f（y,y′）型的微分方程284

习题8.4285

8.5 线性微分方程解的结构286

习题8.5288

8.6 二阶常系数齐次线性微分方程288

8.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法289

8.6.2 n阶常系数齐次线性微分方程及其解法291

习题8.6292

8.7 二阶常系数非齐次线性微分方程292

8.7.1 f(x)＝Pm(x)eλx型292

8.7.2 f(x)＝eλx［Pl(x)coswx＋Pn(x)sinwx］型294

习题8.7295

复习题8295

第9章 数学实验298

9.1 Mathematica软件简介298

9.2 函数性态研究303

9.3 方程的近似解306

9.4 圆周率π的计算309

附录 基本积分表312