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第一章 波动方程1

1 方程的导出、定解条件1

1.弦振动方程的导出1

2.定解条件4

3.定解问题适定性概念6

习题6

2达朗贝尔（d’ Alembert）公式、波的传播7

1.叠加原理7

2.弦振动方程的达朗贝尔解法8

3.传播波10

4.依赖区间、决定区域和影响区域10

5.齐次化原理12

习题14

3初边值问题的分离变量法16

1分离变量法16

2.解的物理意义19

3.非齐次方程的情形20

4.非齐次边界条件的情形21

习题22

4 高维波动方程的柯西问题23

1.膜振动方程的导出23

2.定解条件的提法26

3.球平均法27

4.降维法30

5.非齐次波动方程柯西问题的解31

习题33

5波的传播与衰减33

1.依赖区域、决定区域和影响区域33

2.惠更斯（Huygens）原理、波的弥散35

3.波动方程解的衰减36

习题37

6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性37

1.振动的动能和位能37

2.初边值问题解的唯一性与稳定性38

3.柯西问题解的唯一性与稳定性41

习题44

第二章 热传导方程45

1热传导方程及其定解问题的导出45

1.热传导方程的导出45

2.定解问题的提法46

3.扩散方程48

习题48

2初边值问题的分离变量法49

1.一个空间变量的情形49

2.圆形区域上的热传导问题52

习题53

3柯西问题54

1.傅里叶变换及其基本性质54

2.热传导方程柯西问题的求解56

3.解的存在性58

习题59

4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性60

1极值原理60

2.初边值问题解的唯一性和稳定性61

3.柯西问题解的唯一性和稳定性64

习题65

5解的渐近性态65

1.初边值问题解的渐近性态65

2.柯西问题解的渐近性态66

习题67

第三章 调和方程68

1建立方程、定解条件68

1.方程的导出68

2.定解条件和定解问题69

3.变分原理71

习题73

2格林公式及其应用74

1.格林（Green）公式74

2.平均值定理77

3.极值原理77

4.第一边值问题解的唯一性及稳定性78

习题79

3格林函数80

1.格林函数及其性质80

2.静电源像法82

3.解的验证85

4.单连通区域的格林函数86

5.调和函数的基本性质87

习题91

4强极值原理、第二边值问题解的唯一性91

1.强极值原理91

2.第二边值问题解的唯一性93

3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性94

习题95

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结96

1二阶线性方程的分类96

1.两个自变量的方程96

2.两个自变量的二阶线性方程的化简96

3.方程的分类99

4.例100

5.多个自变量的方程的分类101

习题102

2二阶线性方程的特征理论103

1.特征概念103

2.特征方程104

3.例106

习题107

3三类方程的比较108

1.线性方程的叠加原理108

2.解的性质的比较109

3.定解问题提法的比较112

习题115

4先验估计115

1.椭圆型方程解的最大模估计116

2.热传导方程解的最大模估计116

3.双曲型方程解的能量估计117

4.抛物型方程解的能量估计120

5.椭圆型方程解的能量估计121

习题123

第五章 一阶偏微分方程组124

1引言124

1.一阶偏微分方程组的例子124

2.一阶方程组与高阶方程的关系126

习题127

2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论127

1.特征方程、特征线128

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类129

3.将严格双曲型方程组化为对角型130

习题132

3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题133

1.化为积分方程组133

2.柯西问题解的存在性与唯一性134

3.对初始条件的连续依赖性137

4.依赖区间、决定区域和影响区域137

5.关于柯西问题提法正确性的附注138

习题139

4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题140

1.广义柯西问题140

2.古尔沙（Goursat）问题140

3.一般角状区域上的边值问题141

习题142

5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅（Cauchy-Ковалевская）定理143

1.幂级数解法143

2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理144

习题148

第六章 广义解与广义函数解149

1广义解149

1.研究广义解的必要性149

2.强解149

3.弱解151

习题152

2广义函数的概念152

1.广义函数的物理背景152

2.广义函数的数学概念153

3.基本函数空间154

4.？’（Rn），？（Rn），？’（Rn）广义函数156

习题157

3广义函数的性质与运算158

1.广义函数的极限158

2.广义函数的导数159

3.广义函数的乘子159

4.广义函数的卷积160

习题161

4广义函数的傅里叶变换162

1.？（Rn）上的傅里叶变换162

2.？’（Rn）上的傅里叶变换163

习题165

5基本解165

1.柯西问题的基本解165

2.调和方程的基本解168

3.其他类型的基本解169

习题170

第七章 偏微分方程的数值解171

1调和方程狄利克雷问题的数值解171

1.有限差分法171

2.元体平衡法173

3.有限元素法（里茨（Ritz）法）176

4.有限元素法（伽辽金（Γалеркнн）法）178

习题180

2热传导方程的差分法180

1.一维热传导方程的显式差分格式180

2.差分格式的收敛性和稳定性182

3.隐式格式及其稳定性184

习题185

3波动方程的差分法185

1.波动方程初边值问题的差分格式185

2.C-F-L条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件）186

习题188

附录Ⅰ傅里叶级数系数的估计189

附录Ⅱ张紧薄膜的张力为常值的证明191

附录Ⅲ特殊函数193