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第1章 典型方程与定解条件1

1.1 波动方程的导出1

1.1.1 弦振动方程1

1.1.2 时变电磁场方程3

1.2 热传导方程的导出4

1.3 稳定场方程的导出6

1.3.1 稳定问题6

1.3.2 谐变电磁场方程7

1.3.3 引力位与重力位方程7

1.4 边界条件与初始条件8

1.5 定解问题的提法10

1.5.1 定解问题及其适定性10

1.5.2 线性偏微分方程解的叠加性11

1.6 二阶线性偏微分方程的分类11

1.6.1 变系数线性偏微分方程12

1.6.2 常系数线性偏微分方程16

习题118

第2章 分离变量法19

2.1 有界弦的自由振动19

2.2 有限长杆上的热传导26

2.2.1 第一类边界条件的热传导问题26

2.2.2 对流边界条件的热传导问题30

2.3 二维位势方程33

2.3.1 矩形域内的二维位势方程33

2.3.2 圆域内的二维位势方程37

2.4 多于两个自变量的定解问题40

2.5 非齐次方程的解法44

2.5.1 两端固定弦的强迫振动44

2.5.2 稳定问题的非齐次方程47

2.6 非齐次边界条件的处理50

2.7 本征函数系及其正交性56

2.7.1 一维本征函数系56

2.7.2 二维本征函数系58

2.7.3 本征函数的正交性59

习题260

第3章 波动方程的行波法63

3.1 无界弦的自由振动63

3.1.1 达朗贝尔解的计算公式63

3.1.2 达朗贝尔解的物理意义68

3.2 半无界弦的自由振动74

3.3 有界弦的自由振动80

3.4 高维波动方程的柯西问题82

习题384

第4章 积分变换法87

4.1 傅里叶积分与傅里叶变换87

4.1.1 傅里叶积分87

4.1.2 傅里叶变换88

4.2 傅里叶变换的基本性质88

4.3 傅里叶变换法求解定解问题91

4.3.1 弦振动问题91

4.3.2 热传导问题94

4.3.3 稳定场问题97

4.4 拉普拉斯变换100

4.5 拉普拉斯变换的基本性质101

4.6 拉普拉斯变换法求解定解问题103

4.6.1 无界区域的问题103

4.6.2 半无界区域的问题105

4.6.3 有界区域的问题109

习题4113

第5章 格林函数法115

5.1 δ函数115

5.2 格林函数118

5.2.1 格林公式118

5.2.2 格林函数的概念119

5.2.3 格林函数的互易性121

5.3 稳定问题的格林函数法121

5.4 热传导方程的格林函数法125

5.4.1 无界空间的热传导问题125

5.4.2 有界空间的热传导问题126

5.5 波动方程的格林函数法129

5.5.1 无界空间的波动方程129

5.5.2 有界空间的波动方程130

习题5132

第6章 有限差分法134

6.1 有限差分法基础134

6.2 稳定场方程的差分解法135

6.2.1 一维稳定场方程的差分解法135

6.2.2 二维稳定场方程的差分解法137

6.3 热传导方程的差分解法144

6.4 波动方程的差分解法154

习题6157

第7章 有限单元法160

7.1 加权余量法160

7.1.1 加权余量的概念160

7.1.2 Galerkin法160

7.1.3 Galerkin法的加权余量表达式162

7.2 插值函数的构造163

7.2.1 长度坐标的定义164

7.2.2 插值函数164

7.2.3 单元积分167

7.3 稳定场问题的有限元解法169

7.4 热传导方程的有限元解法175

7.5 波动方程的有限元解法179

习题7186

第8章 贝塞尔函数188

8.1 贝塞尔方程的引出188

8.2 贝塞尔方程的求解189

8.2.1 非整数阶贝塞尔方程的解190

8.2.2 整数阶贝塞尔方程的解192

8.3 贝塞尔函数的递推公式193

8.4 函数展成贝塞尔函数的级数195

8.4.1 贝塞尔函数的零点195

8.4.2 贝塞尔函数的正交性199

8.4.3 Fourier-Bessel级数201

8.5 贝塞尔函数的应用203

8.5.1 圆盘域波动方程203

8.5.2 圆盘域热传导方程206

8.5.3 圆柱形域拉普拉斯方程208

8.6 贝塞尔函数的其他类型211

8.6.1 第三类贝塞尔函数211

8.6.2 虚宗量的贝塞尔函数212

8.6.3 开尔文函数215

8.7 贝塞尔函数的渐近公式215

习题8216

第9章 勒让德函数218

9.1 勒让德方程的引出218

9.2 勒让德方程的求解220

9.3 勒让德多项式的性质222

9.3.1 勒让德函数的引出222

9.3.2 勒让德多项式的递推公式226

9.3.3 勒让德多项式的奇偶性227

9.3.4 勒让德多项式的正交性227

9.3.5 傅里叶-勒让德级数227

9.4 勒让德函数的应用231

9.5 连带勒让德多项式235

9.6 球谐函数238

习题9242

第10章 地球物理中的应用实例243

10.1 位场拉普拉斯方程的解243

10.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解243

10.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解244

10.2 大地电磁正演模拟245

10.2.1 有限差分法分析245

10.2.2 有限单元法分析253

10.3 特殊函数的地球物理应用256

习题10260

附录261

附录A Γ函数（Gamma函数）261

附录B Fourier变换表263

附录C Laplace变换表264

参考文献266