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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数1

1.1.1 绝对值及其性质1

1.1.2 集合、区间和邻域2

1.1.3 函数3

1.1.4 函数的几种特性7

1.1.5 反函数8

1.1.6 基本初等函数与复合函数9

1.1.7 初等函数14

1.1.8 建立函数关系举例14

1.1.9 曲线及其表示方法15

1.2 数列的极限20

1.2.1 极限的思想20

1.2.2 数列的概念21

1.2.3 数列的极限22

1.2.4 收敛数列的性质及应用25

1.3 函数的极限28

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限29

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限30

1.3.3 函数极限的性质32

1.4 无穷小与无穷大33

1.4.1 无穷小33

1.4.2 无穷大35

1.4.3 无穷小和无穷大的关系36

1.5 极限的运算法则37

1.5.1 函数极限的四则运算法则38

1.5.2 复合函数的极限运算法则41

1.6 极限的存在准则两个重要极限43

1.6.1 极限的存在准则Ⅰ及重要极限Ⅰ43

1.6.2 极限的存在准则Ⅱ及重要极限Ⅱ45

1.7 无穷小的比较49

1.8 函数的连续与间断点52

1.8.1 函数的连续性52

1.8.2 函数的间断点54

1.9 初等函数的连续性57

1.9.1 连续函数的四则运算57

1.9.2 复合函数与反函数的连续性58

1.9.3 初等函数的连续性59

1.10 闭区间上连续函数的性质61

本章小结64

延伸与拓展66

总习题一71

第2章 导数与微分75

2.1 导数的概念75

2.1.1 问题的提出75

2.1.2 导数的定义77

2.1.3 由定义求导数78

2.1.4 导数的几何意义80

2.1.5 函数可导性与连续性的关系80

2.2 函数的求导法则82

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则82

2.2.2 反函数的求导法则85

2.2.3 基本初等函数的导数公式86

2.2.4 复合函数的求导法则86

2.3 高阶导数90

2.3.1 高阶导数的定义90

2.3.2 常用的初等函数的n阶导数公式及运算法则91

2.3.3 求函数高阶导数举例93

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数94

2.4.1 隐函数的导数94

2.4.2 对数求导法95

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数96

2.5 函数的微分99

2.5.1 问题的提出99

2.5.2 微分的定义100

2.5.3 函数可微的充要条件100

2.5.4 常用的结论与概念101

2.5.5 微分的几何意义101

2.5.6 基本初等函数的微分公式与微分的运算法则102

2.5.7 微分形式不变性103

2.5.8 微分在近似计算中的应用105

本章小结107

延伸与拓展108

总习题二110

第3章 定理与导数的应用113

3.1 微分中值定理113

3.1.1 罗尔定理113

3.1.2 拉格朗日中值定理114

3.1.3 柯西中值定理117

3.2 洛必达法则118

3.2.1 基本未定式？和？的极限119

3.2.2 其他未定式0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0的极限121

3.3 泰勒公式123

3.4 函数的单调性与凹凸性129

3.4.1 函数的单调性130

3.4.2 曲线的凹凸性132

3.5 函数的极值和最值135

3.5.1 函数的极值及其求法136

3.5.2 最大值与最小值139

3.5.3 数学建模——最优化问题140

3.6 函数图形的描绘144

3.6.1 渐近线144

3.6.2 描绘函数图形145

3.7 曲线的曲率148

3.7.1 曲率的概念148

3.7.2 曲率的计算公式149

3.7.3 曲率圆与曲率半径151

本章小结152

延伸与拓展154

总习题三156

第4章 不定积分158

4.1 不定积分的概念与性质158

4.1.1 不定积分的概念158

4.1.2 不定积分的性质160

4.1.3 基本积分表160

4.1.4 直接积分法161

4.2 换元积分法164

4.2.1 第一换元积分法（凑微分法）164

4.2.2 第二换元积分法170

4.3 分部积分法174

4.4 有理函数的积分177

4.4.1 有理函数的积分178

4.4.2 可化为有理函数的积分181

本章小结184

延伸与拓展186

总习题四188

第5章 定积分192

5.1 定积分的概念192

5.1.1 定积分问题引例192

5.1.2 定积分的定义195

5.1.3 定积分的几何意义197

5.1.4 定积分的性质198

5.2 微积分基本公式202

5.2.1 变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系203

5.2.2 变上限积分函数及其导数203

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式205

5.3 定积分的换元法和分部积分法209

5.3.1 定积分的换元法209

5.3.2 定积分的分部积分法213

5.4 反常积分217

5.4.1 无穷限的反常积分218

5.4.2 无界函数的反常积分220

5.5 反常积分的审敛法Γ函数223

5.5.1 无穷限反常积分的审敛法223

5.5.2 无界函数的反常积分的审敛法225

5.5.3 Γ函数227

本章小结230

延伸与拓展232

总习题五236

第6章 定积分的应用240

6.1 定积分的微元法240

6.2 定积分在几何上的应用242

6.2.1 平面图形的面积242

6.2.2 体积247

6.2.3 平面曲线的弧长250

6.3 定积分在物理上的应用253

6.3.1 变力沿直线运动所做的功254

6.3.2 液体压力255

6.3.3 引力256

本章小结259

延伸与拓展260

总习题六263

第7章 微分方程266

7.1 微分方程的基本概念266

7.1.1 问题背景266

7.1.2 微分方程及其解的概念267

7.2 初等积分法271

7.2.1 变量可分离方程271

7.2.2 一阶线性方程272

7.2.3 初等变换法274

7.3 可降阶的高阶微分方程278

7.3.1 y″=f（x）型278

7.3.2 y″=f（y，y′）型278

7.3.3 y″=f（y，y′）型279

7.4 二阶常系数线性微分方程281

7.4.1 线性方程的解的结构281

7.4.2 二阶常系数齐次线性方程284

7.4.3 二阶常系数非齐次线性方程286

本章小结291

延伸与拓展293

总习题七296

习题答案299

第1章习题答案299

第2章习题答案305

第3章习题答案311

第4章习题答案314

第5章习题答案320

第6章习题答案324

第7章习题答案327

附录331

附录1 常用初等代数公式331

附录2 常用三角公式332

附录3 常用等价无穷小关系334

附录4 基本求导公式334

附录5 基本积分公式334

附录6 常用面积和体积公式335

附录7 常用平面曲线及其方程336

参考书目341