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目录1

第1章 算法的基本概念1

1.1 算法的基本特征1

1.2 数值型算法的特点2

1.3 算法分析5

1.3.1 误差与运算误差分析5

1.3.2 算法的稳定性17

1.3.3 算法的复杂度23

1.3.4 算法的自适应性29

习题130

第2章 正交多项式33

2.1 正交多项式的基本概念33

2.2 切比雪夫多项式34

2.3 勒让德多项式40

2.4 拉盖尔多项式42

2.5 厄米特多项式42

2.6 正交多项式的构造43

习题245

第3章 线性代数方程组的求解47

3.1 一般线性代数方程组的直接解法48

3.1.1 高斯消去法48

3.1.2 高斯-若尔当消去法58

3.2 带状方程组64

3.2.1 三对角方程组64

3.2.2 一般带状方程组68

3.3.1 简单迭代法75

3.3 线性代数方程组的迭代解法75

3.3.2 高斯-赛德尔迭代法79

3.3.3 松弛法82

3.4 共轭梯度法82

3.4.1 几个基本概念83

3.4.2 共轭梯度法84

3.5 求解特普利兹型线性代数方程组的递推算法91

习题397

4.1.1 矩阵的三角分解98

4.1 矩阵分解98

第4章 矩阵运算98

4.1.2 矩阵的QR分解104

4.2 矩阵求逆111

4.2.1 原地工作的矩阵求逆112

4.2.2 全选主元矩阵求逆116

4.3 特普利兹矩阵的求逆124

4.4 计算绝对值最大的特征值的乘幂法132

4.5 求对称矩阵特征值的雅可比方法135

4.6.1 QR方法的基本思想146

4.6 QR方法求一般实矩阵的全部特征值146

4.6.2 化一般实矩阵为海森伯格矩阵147

4.6.3 双重步QR方法求矩阵特征值151

习题4159

第5章 非线性方程与方程组161

5.1 方程求根的基本思想161

5.1.1 方程求根的基本过程161

5.1.2 对分法求方程的实根163

5.1.3 简单迭代法167

5.2 艾特肯迭代法170

5.3 牛顿迭代法与插值法174

5.3.1 牛顿迭代法174

5.3.2 插值法179

5.4 控制迭代过程结束的条件182

5.5 QR方法求多项式方程的全部根184

5.6 非线性方程组的求解186

5.6.1 牛顿法186

5.6.2 拟牛顿法189

习题5194

第6章 代数插值法196

6.1 插值的基本概念196

6.2 拉格朗日插值法198

6.2.1 拉格朗日插值多项式的构造198

6.2.2 插值多项式的余项204

6.2.3 插值的逼近性质206

6.3 艾特肯逐步插值法208

6.4.1 差商及其牛顿插值公式213

6.4 牛顿插值法213

6.4.2 差分与等距结点插值公式217

6.5 厄米特插值法220

6.6 样条插值法223

6.6.1 样条函数的概念223

6.6.2 三次样条插值函数的构造224

习题6244

7.1.1 一致逼近的基本概念247

7.1 最佳一致逼近多项式247

第7章 函数逼近与拟合247

7.1.2 最佳一致逼近多项式249

7.1.3 列梅兹算法251

7.2 最佳均方逼近多项式257

7.2.1 均方逼近的基本概念257

7.2.2 最佳均方逼近多项式257

7.3 最小二乘曲线拟合259

7.3.1 最小二乘曲线拟合的基本概念259

7.3.2 线性拟合260

7.3.3 半对数数据相关与对数数据相关262

7.3.4 一般多项式拟合267

7.3.5 用正交多项式作最小二乘曲线拟合269

习题7274

第8章 数值积分与数值微分276

8.1 插值求积公式276

8.2 变步长求积法280

8.2.1 变步长梯形求积法281

8.2.2 变步长辛普森求积法284

8.3 龙贝格求积法286

8.4 高斯求积法290

8.4.1 代数精度的概念290

8.4.2 高斯求积法292

8.4.3 几种常用的高斯求积公式295

8.5 自适应梯形求积法304

8.6 高振荡函数的求积法307

8.7 数值微分314

习题8315

9.1 常微分方程数值解的基本思想317

第9章 常微分方程数值解317

9.2 欧拉方法320

9.2.1 基本公式320

9.2.2 误差分析322

9.2.3 步长的自动选择323

9.2.4 改进的欧拉公式324

9.3 龙格-库塔法325

9.4 一阶微分方程组与高阶微分方程329

9.4.1 一阶微分方程组329

9.4.2 高阶微分方程341

9.5 线性多步法343

9.5.1 阿当斯方法343

9.5.2 汉明方法349

9.6 常微分方程数值解法的相容性、收敛性与稳定性356

9.6.1 相容性356

9.6.2 收敛性358

9.6.3 稳定性358

9.7 求解刚性方程的吉尔方法359

习题9381

第10章 连分式及其新计算法382

10.1 连分式382

10.1.1 连分式的基本概念382

10.1.2 连分式的主要性质385

10.1.3 变换级数为连分式387

10.2 函数连分式389

10.2.1 函数连分式的基本概念389

10.2.2 函数连分式的主要性质390

10.2.3 函数连分式的计算391

10.3 连分式插值法393

10.3.1 连分式插值的基本概念393

10.3.2 连分式插值函数的构造394

10.3.3 连分式逐步插值397

10.4 方程求根的连分式解法398

10.5 一维积分的连分式解法403

10.6 常微分方程初值问题的连分式解法407

习题10413

参考文献414