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第一篇 基本概念3

第一章 拓扑预备知识3

提要3

§1 引言3

§2 拓扑空间4

§3 闭包，内部，边界6

§4 连续映射，同胚8

§5 拓扑空间的性质11

§6 特殊拓扑14

第二章 Rn上的微分运算20

提要20

§1 引言20

§2 多变量映射的微分22

§3 可微映射的性质23

§4 方向导数25

§5 偏导数26

§6 微分矩阵，雅可比行列式28

§7 C1-映射和微分同胚34

§8 中值定理35

§9 高阶微分和泰勒（Taylor）公式36

§10 Ck-微分同胚的概念39

§11 反函数定理39

§12 隐函数定理41

第二篇 流形47

第三章 可微流形47

提要47

§1 引言47

§2 图和图册48

§3 可微流形的定义50

§4 微分流形的性质52

4.1 Mn的豪斯道夫性质52

4.2 Mn是局部欧几里德空间53

4.3 Mn是局部紧致的54

4.4 流形的开子集54

4.5 积流形54

4.6 单位分解54

§5 可微流形的例56

第四章 流形上的微分学62

§1 可微映射62

§2 切向量和切空间68

§3 映射的微分75

§4 映射的秩80

§5 浸没-浸入-子流形83

§6 在数学物理上的应用86

第五章 李群88

提要88

§1 引言和历史背景88

§2 李群的定义；例90

§3 左-不变向量场93

§4 李群的李代数95

§5 李群同态98

§6 李群的李子群100

§7 单参数子群101

§8 指数映射104

§9 正则坐标系111

§10 伴随表示112

§11 李变换群115

§12 李群的齐性空间121

§13 应用：弗·克莱因的“厄尔朗根纲领”122

第六章 纤维丛125

§1 引言125

§2 纤维丛的定义；例126

§3 切丛和余切丛130

3.1 引言和动机130

3.2 切（余切）丛的一个严格描述132

§4 张量丛136

§5 向量丛140

§6 主纤维丛141

§7 相伴丛145

提要151

第三篇 微分形式151

第七章 微分形式的基本概念151

§1 微分形式的定义152

1.1 作为横截面的微分形式152

1.2 作为反交换多线性映射的微分形式154

1.3 微分形式的正则形式157

1.4 伴随微分形式158

§2 微分形式的运算161

2.1 外导数161

2.2 可微映射的对偶映射φ＊169

2.3 在正则形式中φ＊的计算172

2.4 庞加莱（Poincaré）引理及其逆定理174

2.5 微分形式与向量场的内积183

2.6 微分形式的李导数186

§3 李群上的不变微分形式190

§4 在数学物理上的应用197

4.1 电磁场198

4.2 电磁场变换定律199

4.3 闵可夫斯基空间-时间中的马克斯威尔方程201

4.4 在三维空间中的马克斯威尔方程204

4.5 刚体动力学中的左不变形式213

4.6 牛顿质点力学中的右不变形式218

第八章 弗罗本尼斯理论229

§1 引言229

§2 弗罗本尼斯（Frobenius）条件233

§3 弗罗本尼斯可积性定理238

3.1 引言238

3.2 к维分布的积分流形239

3.3 弗罗本尼斯可积定理的局部表述法243

3.4 弗罗本尼斯定理的整体表述法；层状结构246

3.5 用微分形式表述的弗罗本尼斯可积定理246

3.6 用微分理想表述的弗罗本尼斯定理251

§4 在数学物理上的应用254

4.1 力学系统的对合性（或完整性）254

4.2 热力学的喀喇氏定理（Caratheodory sTheorem）258

4.3 物理中的一阶联立微分方程组261

4.4 物理中的一阶偏微分方程262

第四篇 流形上的积分理论283

第九章 微分形式的积分283

§1 欧几里德空间Rn上的积分283

1.1 一次微分形式的线积分283

1.2 二次微分形式的面积分285

2.1 n维向量空间VR（R）的定向287

§2 定向287

2.2 n维流形的走向289

§3 Rn上n次形式的积分292

§4 链上的积分294

4.1 可微链的概念294

4.2 微分形式在链上的积分299

4.3 对于链的斯托克斯定理（Stokes Theorem）300

§5 在定向流形上的积分303

5.1 有紧致支集的微分形式的积分303

5.2 对于流形的斯托克斯定理307

5.3 在黎曼流形上的积分316

1.1 普通deRham上同调320

§1 deRham上同调320

提要320

第十章 deRham上同调320

1.2 deRham群的例323

1.3 有紧致支集的deRham上同调333

§2 可微的奇异同调335

§3 deRham定理338

§4 映射度341

§5 环绕数345

§6 作为物理定律支承结构的deRham上同调348

§7 霍奇定理367

7.1 引言367

7.2 霍奇星算子368

7.3 余微分δ368

7.4 拉普拉斯-贝特拉米算子369

7.5 调和微分形式372

7.6 霍奇分解定理374

§8 庞加莱对偶性378

§9 在数学物理上的应用382

第五篇 联络理论389

第十一章 在纤维丛上的联络389

提要389

§1 经典微分几何中的仿射联络390

1.1 协变微分390

1.2 协变微分法的几何意义392

1.3 平行移动的物理意义394

§2 柯斯朱尔意义下的仿射联络395

2.1 柯斯朱尔联络的概念395

2.2 向量场沿一条曲线的协变导数398

2.3 沿曲线的平行移动399

2.4 张量丛上的协变导数400

2.5 仿射联络的挠率和曲率402

2.6 挠率和曲率的固有定义403

2.7 黎曼联络405

2.7.1 逆变和协变张量场之间的正则对应406

2.7.2 黎曼或勒维-奇维塔联络408

2.8 在数学物理上的应用411

§3 嘉当联络415

§4 埃累斯曼联络422

4.1 历史背景422

4.2 用线性映射表示的埃累斯曼联络423

4.3 用η-值一次形式表示的埃累斯曼联络425

4.4 联络的曲率形式。结构方程429

4.5 平坦联络433

4.6 完整群434

4.6.1 沿曲线的平行移动435

4.6.2 联络的完整群438

4.6.3 安布罗斯-辛格完整性定理440

§5 线性联络444

第六篇 固有的分析力学449

第十二章 哈密尔顿力学和几何449

提要449

§1 引言449

§2 保守力学．辛流形453

2.1 局部坐标中的辛结构455

2.2 哈密尔顿系统460

2.3 诺特（Noether）定理468

2.4 正则变换472

2.5 正则变换和母函数479

2.6 无穷小接触变换481

2.7 母函数与无穷小接触变换（提要）483

§3 与时间有关的力学485

§4 研究哈密尔顿原理的几何途径489

§5 哈密尔顿-雅可比方程的几何意义502

5.1 保守系统503

5.2 非保守系统503

第七篇 统一结构509

第十三章 引力论509

提要509

§1 引言（引力论的历史发展）509

§2 牛顿联络514

§3 支承引力的几何结构516

§4 广义相对论中的对称519

4.1 无穷小运动或基林向量场521

4.2 基林方程和守恒定律524

§5 相对论流体力学524

5.1 引言524

5.2 非相对论流体力学525

5.2.1 运动的纳维尔-斯托克斯（Navier-Stokes）方程和欧拉方程527

5.2.2 伯努利（Bernoulli）方程533

5.2.3 涡量守恒的亥姆霍兹（Helmholtz）定理534

5.2.4 环流守恒的汤姆孙（Thomson）定理535

5.3 相对论流体力学536

5.3.1 积分不变量536

5.3.2 环流守恒的汤姆孙定理540

5.3.3 涡量守恒的亥姆霍兹定理547

§1 卡鲁扎-克莱因五维理论552

提要552

第十四章 统一场论552

1.1 电磁场的构造557

1.2 M5上的卡鲁扎-克莱因度量559

1.3 用卡鲁扎-克莱因几何学研究带电粒子的相对论流体560

§2 规范对称和整体对称561

§3 几何规范结构564

§4 自发对称破缺567

§5 自发破坏的整体对称577

§6 弱的和电磁的相互作用的统一580

6.1 统一的萨拉姆-威伯格模型583

6.2 自发的μ-e质量分裂585

§7 做为统一物理定律的超引力601

参考文献610

主题索引613