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第一章 极限论1

1.1 函数1

一、函数的概念1

二、函数的几何特性2

三、函数的延拓3

四、复合函数与反函数4

五、初等函数5

习题1-16

1.2 微积分的一些基本问题7

一、面积问题7

二、切线问题9

三、变速直线运动的瞬时速度问题10

1.3 数列的极限11

一、数列极限的定义11

二、数列极限的性质15

三、数列极限的四则运算法则17

四、内在的收敛判别法：单调有界数列；Cauchy收敛原理18

习题1-323

1.4 函数的极限23

一、函数极限的概念23

二、函数极限的精确定义25

三、函数极限的性质27

四、无穷远点的极限与水平渐进线30

五、利用函数极限的运算法则计算极限33

六、单侧极限35

七、无穷小量与无穷大量36

习题1-439

1.5 函数的连续性40

一、连续函数的概念40

二、间断点的分类44

三、连续函数的运算，初等函数的连续性45

四、无穷小量的比较50

五、闭区间上连续函数的性质52

习题1-555

总习题一56

第二章 导数与微分60

2.1 切线、速度和其它的变化率问题60

一、切线问题60

二、速度问题61

三、其它的变化率问题62

2.2 导数的定义与几个基本的导数公式64

一、导数的定义64

二、导数的几何意义65

三、几个初等函数的导数公式66

四、利用导数的定义求导数举例68

五、连续性与可微性的关系70

习题2-270

2.3 自然科学与社会科学中的变化率问题71

一、物理学72

二、化学72

三、生物学73

四、经济学73

五、其它科学74

2.4 求导法则74

一、导数的四则运算74

二、反函数的导数76

三、复合函数的导数：连锁法则77

四、隐函数的求导法则，对数求导法80

五、由参数方程确定的函数的导数82

习题2-484

2.5 高阶导数85

习题2-589

2.6 微分与线性逼近90

一、微分的概念90

二、微分的运算92

三、复合函数的微分，一阶微分形式不变性93

四、微分在近似计算中的应用94

习题2-695

2.7 相关变化率95

总习题二97

第三章 中值定理与导数应用101

3.1 中值定理101

一、罗尔定理101

二、拉格朗日中值定理103

三、柯西中值定理105

习题3-1106

3.2 罗必达法则108

一、罗必达第一法则108

二、罗必达第二法则109

三、其它未定型111

习题3-2112

3.3 泰勒公式113

一、在x0处的n次泰勒多项式113

二、带余项的泰勒公式114

三、几个初等函数的马克劳林展式115

习题3-3117

3.4 函数的单调性118

习题3-4121

3.5 函数的极值和最值122

一、函数的极值122

二、函数的最值125

习题3-5128

3.6 函数图形的凹向与拐点129

习题3-6132

3.7 函数作图和曲线的渐近线132

一、曲线的渐近线132

二、函数的作图134

习题3-7136

3.8 曲率136

一、弧微分137

二、曲率137

习题3-8140

3.9 方程的近似解141

一、二分法141

二、切线法142

习题3-9143

总习题三143

第四章 不定积分148

4.1 原函数与不定积分148

一、原函数148

二、不定积分150

三、不定积分的几何意义151

四、不定积分的性质及基本积分公式152

五、简单积分法154

习题4-1155

4.2 换元积分法157

一、第一换元法（凑微分法）157

二、第二换元法163

习题4-2166

4.3 分部积分法168

习题4-3175

4.4 有理函数积分法176

一、部分分式和它们的积分177

二、分解真分式为部分分式178

三、例题181

习题4-4183

4.5 某些无理函数的积分，三角有理式的积分183

一、∫R(x？)dx型184

习题4-5（一）185

二、用万能代换计算∫R(sinx,cosx)dx型积分185

三、几种有用的代换187

习题4-5（二）188

4.6 积分表的使用189

习题4-6190

总习题四190

第五章 定积分193

5.1 定积分的概念193

一、积累问题举例193

二、定积分的定义196

三、定积分存在的条件198

四、定积分的几何意义199

习题5-1201

5.2 定积分的性质201

习题5-2205

5.3 微积分基本定理206

一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系206

二、积分上限的函数及其导数207

三、牛顿-莱布尼茨公式209

习题5-3212

5.4 定积分的换元积分法与分部积分法213

一、定积分的换元积分法213

二、定积分的分部积分法216

习题5-4218

5.5 广义积分219

一、无限区间上的广义积分219

二、无界函数的广义积分222

习题5-5225

5.6 广义积分敛散性的判别法226

一、无穷区间上的广义积分敛散性的判别法226

二、无界函数的广义积分敛散性的判别法229

三、Г-函数231

习题5-6232

5.7 定积分的近似计算233

一、矩形法233

二、梯形法234

三、抛物线法234

习题5-7238

总习题五239

第六章 定积分的应用242

6.1 微元法的基本思想242

6.2 定积分的几何应用244

一、平面图形的面积244

二、体积247

三、平面曲线的弧长251

习题6-2254

6.3 定积分在物理学中的应用255

一、变力沿直线运动所做的功255

二、液体的压力258

三、引力259

习题6-3260

6.4 平均值261

一、函数的平均值261

二、均方根263

习题6-4264

总习题六264

第七章 微分方程266

7.1 微分方程的基本概念266

习题7-1269

7.2 变量可分离方程269

习题7-2271

7.3 齐次方程271

习题7-3273

7.4 一阶线性微分方程274

习题7-4278

7.5 一阶微分方程应用举例278

习题7-5282

7.6 可转化为一阶微分方程的二阶微分方程282

习题7-6286

7.7 二阶线性微分方程287

一、二阶线性齐次方程解的结构287

二、二阶线性非齐次方程291

习题7-7293

7.8 二阶常系数齐次线性方程的解法293

习题7-8297

7.9 二阶常系数线性非齐次方程的解法297

习题7-9301

7.10 欧拉方程301

习题7-10302

7.11 线性微分方程组303

习题7-11305

总习题七306

附录 积分表307