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绪论1

第1章 不定积分5

1.1 不定积分中的原函数概念5

1.2 分项积分法6

1.3 分部积分法13

1.3.1 分部积分法的基本公式13

1.3.2 分部积分法的推广公式14

1.4 换元积分法21

1.5 三角替代法27

1.6 欧拉替换法32

1.7 三角函数积分中的倍角法36

1.8 倍角法的应用43

1.8.1 在函数sinpx，cosqx，sinpxcosqx的积分中（p，q为正整数，或奇整数，或偶整数）43

1.8.2 倍角法应用在含有三角函数与指数函数的积分46

1.9 secnx和cscnx的积分48

1.10 tannx和cotnx的积分51

1.11 有理代数分式的积分法53

1.12 无理代数函数的积分法59

1.13 含有三角函数的有理式的积分法62

1.13.1 一般的方法62

1.13.2 微分积分法68

1.13.3 万能替换法75

1.14 含有双曲函数的有理式的积分法78

1.15 配对积分法（组合积分法）86

第2章 定积分99

2.1 定积分的定义99

2.1.1 黎曼定义99

2.1.2 面积求和法的定义——曲线下的面积100

2.2 定积分的基本公式和常用法则101

2.2.1 定积分的基本公式101

2.2.2 定积分中的几个常用法则103

2.3 欧拉积分、欧拉常数及其他常用常数104

2.3.1 Β函数（Beta function）105

2.3.2 Γ函数（Gamma function）106

2.3.3 几个重要常数110

2.4 定积分中的分部积分法111

2.5 定积分中的换元法117

2.6 含参变量的积分法135

2.7 无穷级数积分法144

2.8 反常积分（Improper）155

2.8.1 反常积分的定义155

2.8.2 反常积分存在的判别法157

2.8.3 反常积分算例158

2.8.4 伏汝兰尼（Froullani）积分160

2.8.5 罗巴切夫斯基（Lobachevsky）积分法166

2.8.6 一个通用的积分法则169

2.8.7 有关欧拉常数γ的几个积分171

2.9 定积分的近似计算176

2.9.1 近似计算的方法176

2.9.2 近似计算算例181

2.9.3 近似计算的误差估算186

第3章 定积分的应用190

3.1 面积的计算190

3.1.1 用定积分的定义来计算面积190

3.1.2 几种常见曲线围成的面积的计算191

3.2 曲线长度的计算200

3.3 体积的计算207

3.3.1 用逐次积分法计算体积207

3.3.2 利用横截面计算体积208

3.3.3 回旋体的体积209

3.4 表面积的计算210

3.4.1 投影法计算表面积210

3.4.2 回旋体的侧面积计算法216

第4章 重积分219

4.1 二重积分219

4.1.1 二重积分的定义及算例219

4.1.2 二重积分上、下限的确定——穿线法222

4.1.3 几个典型的积分次序及积分限变换的例子226

4.1.4 两个一元函数乘积的积分232

4.2 三重积分233

4.2.1 三重积分的定义233

4.2.2 三重积分的傅比尼定理233

4.2.3 三重积分的算例234

4.3 重积分的坐标变换240

4.3.1 二重积分的坐标变换240

4.3.2 三重积分的坐标变换244

4.3.3 n重积分的坐标变换248

第5章 曲线积分和曲面积分253

5.1 曲线积分253

5.1.1 第一型曲线积分253

5.1.2 第二型曲线积分256

5.1.3 曲线积分的应用258

5.2 格林（Green）公式262

5.3 曲面积分266

5.3.1 第一型曲面积分266

5.3.2 第二型曲面积分274

5.4 斯托克斯（Stokes）公式277

5.5 高斯（Gauss）公式281

5.6 高斯公式和斯托克斯公式在场论中的应用285

5.6.1 高斯公式在场论中的应用285

5.6.2 斯托克斯公式在场论中的应用287

第6章 傅里叶积分和积分变换290

6.1 傅里叶（Fourier）积分290

6.1.1 傅里叶级数290

6.1.2 傅里叶积分公式292

6.2 傅里叶变换及其性质294

6.2.1 傅里叶变换294

6.2.2 傅里叶变换的性质294

6.2.3 傅里叶余弦变换和正弦变换295

6.2.4 傅里叶变换及傅里叶余弦变换和正弦变换算例297

6.2.5 傅里叶变换的应用300

6.3 拉普拉斯（Laplace）变换302

6.3.1 拉普拉斯变换302

6.3.2 拉普拉斯变换的性质303

6.3.3 单项式的拉普拉斯变换算例304

6.3.4 拉普拉斯逆变换306

6.3.5 拉普拉斯变换的应用307

第7章 复变函数的积分311

7.1 复变函数的概念311

7.1.1 复数和复平面311

7.1.2 复数的四则运算312

7.1.3 复变函数312

7.2 复变函数的微商（导数）313

7.3 复变函数的积分314

7.3.1 曲线积分314

7.3.2 柯西积分定理316

7.3.3 复变函数的不定积分317

7.3.4 柯西积分公式319

7.3.5 解析函数的高阶微商320

7.3.6 无界区域的柯西积分公式321

7.4 复变函数的无穷级数展开——泰勒级数与罗朗级数321

7.4.1 泰勒（Taylor）级数321

7.4.2 罗朗（Laurent）级数323

7.5 留数定理及其在积分上的应用325

7.5.1 留数定理325

7.5.2 留数的计算方法326

7.5.3 留数定理在定积分计算中的应用327

第8章 特殊函数的积分法349

8.1 特殊函数的积分法349

8.1.1 特殊函数349

8.1.2 积分中常用的一些公式349

8.2 含有贝塞尔函数的积分353

8.2.1 含有第一类贝塞尔函数的积分353

8.2.2 含有第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）的积分358

8.2.3 含虚自变量的贝塞尔函数的积分360

8.2.4 双贝塞尔函数的积分363

8.2.5 贝塞尔函数与幂函数组合的积分366

8.2.6 贝塞尔函数与三角函数组合的积分372

8.2.7 贝塞尔函数与双曲函数组合的积分378

8.2.8 艾里（Airy）积分381

8.3 含有勒让德函数的积分386

8.4 含有超几何函数的积分399

8.5 马蒂厄函数的积分402

8.5.1 马蒂厄方程402

8.5.2 马蒂厄函数积分算例403

参考书目405