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第7章 空间解析几何与向量代数1

7.1 向量及其线性运算1

7.1.1 向量的概念1

7.1.2 向量的线性运算2

7.2 空间直角坐标系和向量的坐标6

7.2.1 空间直角坐标系6

7.2.2 空间两点间的距离8

7.2.3 向量的坐标表示9

7.2.4 利用坐标进行向量的线性运算10

7.2.5 向量的模和方向余弦12

7.2.6 向量在轴上的投影13

7.3 向量的数量积、向量积和混合积15

7.3.1 向量的数量积15

7.3.2 向量的向量积18

7.3.3 向量的混合积21

7.4 平面及其方程23

7.4.1 曲面方程的概念23

7.4.2 平面的点法式方程24

7.4.3 平面的一般方程25

7.4.4 平面的三点式和截距式方程26

7.4.5 两平面的夹角28

7.4.6 点到平面的距离29

7.5 直线及其方程31

7.5.1 直线的一般方程31

7.5.2 直线的对称式方程32

7.5.3 直线的参数方程33

7.5.4 有关直线的几个问题34

7.6 曲面及其方程40

7.6.1 球面40

7.6.2 旋转曲面40

7.6.3 柱面43

7.6.4 二次曲面45

7.7 曲线及其方程48

7.7.1 空间曲线的一般方程48

7.7.2 空间曲线的参数方程49

7.7.3 空间曲线在坐标平面上的投影50

综合练习题七52

第8章 多元函数微分学55

8.1 多元函数的极限与连续55

8.1.1 平面点集的基本概念55

8.1.2 多元函数的概念57

8.1.3 多元函数的极限59

8.1.4 多元函数的连续性60

8.2 偏导数63

8.2.1 偏导数的定义63

8.2.2 偏导数的几何意义66

8.2.3 高阶偏导数66

8.3 全微分69

8.3.1 偏增量与全增量69

8.3.2 全微分的定义70

8.3.3 可微的条件70

8.3.4 全微分在近似计算中的应用73

8.4 多元复合函数的求导法则74

8.4.1 多元复合函数的求导法则74

8.4.2 全微分的形式不变性81

8.5 隐函数的求导公式82

8.5.1 一个方程的情形82

8.5.2 方程组的情形86

8.6 方向导数与梯度88

8.6.1 方向导数88

8.6.2 梯度91

8.7 多元函数微分学的几何应用95

8.7.1 空间曲线的切线与法平面95

8.7.2 空间曲面的切平面与法线97

8.8 多元函数的极值99

8.8.1 多元函数的极值99

8.8.2 多元函数的最大值和最小值102

8.8.3 条件极值与拉格朗日乘数法103

综合练习题八106

第9章 重积分109

9.1 二重积分的概念与性质109

9.1.1 实际背景109

9.1.2 二重积分的定义111

9.1.3 二重积分的性质112

9.2 二重积分的计算114

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算114

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算123

9.2.3 二重积分的换元法与广义二重积分128

9.2.4 曲面的面积131

9.3 三重积分134

9.3.1 三重积分的概念与性质134

9.3.2 利用直角坐标计算三重积分136

9.3.3 利用柱面坐标计算三重积分141

9.3.4 利用球面坐标计算三重积分144

综合练习题九148

第10章 曲线积分与曲面积分151

10.1 对弧长的曲线积分151

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质151

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法153

10.2 对坐标的曲线积分156

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质156

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算法159

10.2.3 两类曲线积分之间的联系163

10.3 格林公式及其应用165

10.3.1 格林公式165

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的等价条件170

10.3.3 全微分求积与全微分方程173

10.4 对面积的曲面积分176

10.4.1 曲面形物体的质量176

10.4.2 对面积的曲面积分的概念与性质176

10.4.3 对面积的曲面积分的计算177

10.5 对坐标的曲面积分180

10.5.1 有向曲面及其投影180

10.5.2 对坐标的曲面积分的概念与性质181

10.5.3 对坐标的曲面积分的计算法184

10.5.4 两类曲面积分之间的联系187

10.6 高斯公式 通量与散度190

10.6.1 高斯公式190

10.6.2 通量与散度193

10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度196

10.7.1 斯托克斯公式196

10.7.2 环流量与旋度198

综合练习题十200

第11章 无穷级数203

11.1 常数项级数的概念和性质203

11.1.1 常数项级数的概念203

11.1.2 等比级数205

11.1.3 无穷级数的基本性质205

11.2 正项级数及其审敛法208

11.2.1 正项级数收敛的充分必要条件208

11.2.2 比较审敛法209

11.2.3 比值审敛法与根值审敛法213

11.3 任意项级数的审敛法215

11.3.1 交错级数及其审敛法215

11.3.2 绝对收敛与条件收敛217

11.4 幂级数219

11.4.1 函数项级数的概念219

11.4.2 幂级数及其收敛性220

11.4.3 幂级数的运算性质224

11.5 函数展开成幂函数227

11.5.1 泰勒级数227

11.5.2 函数展开成幂级数228

11.6 傅里叶级数233

11.6.1 三角级数与三角函数系的正交性233

11.6.2 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数234

11.6.3 正弦级数和余弦级数238

11.6.4 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数242

综合练习题十一246

附录249

二阶与三阶行列式249

习题与综合练习题参考答案252

参考文献267