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第五章 多元函数微分学1

第一节 多元函数的极限与连续性1

一、多元函数的极限1

二、多元函数的连续性4

三、有界闭区域上多元连续函数的性质4

习题5-15

第二节 偏导数5

一、一阶偏导数5

二、高阶偏导数10

习题5-212

第三节 全微分13

一、全微分的概念13

二、多元函数可微分的条件14

习题5-320

第四节 多元函数的求导法则20

一、多元复合函数的求导法则20

二、隐函数的求导法则25

习题5-428

第五节 方向导数与梯度30

一、方向导数30

二、梯度34

习题5-536

第六节 多元函数微分学的几何应用36

一、空间曲线的切线与法平面36

二、曲面的切平面与法线39

习题5-642

第七节 多元函数的极值42

一、多元函数的极值与最大值、最小值42

二、条件极值47

习题5-754

数学实验（五）54

一、问题的描述54

二、实验内容55

三、思考与练习58

数学文化（五）58

一、偏导数的起源与演变58

二、欧拉59

第六章 多元函数积分学61

第一节 二重积分61

一、二重积分的概念61

二、二重积分的性质65

三、二重积分的计算67

习题6-177

第二节 三重积分79

一、三重积分的定义与性质79

二、三重积分的计算82

习题6-292

第三节 曲线积分93

一、第一类曲线积分93

二、第二类曲线积分98

习题6-3102

第四节 格林公式及其应用102

一、格林公式102

二、平面上曲线积分与路径无关的条件106

习题6-4109

第五节 第一类曲面积分110

一、第一类曲面积分的定义110

二、第一类曲面积分的性质及其对称性112

三、第一类曲面积分的计算113

习题6-5115

第六节 第二类曲面积分115

一、第二类曲面积分的定义与性质115

二、第二类曲面积分的计算120

三、高斯公式121

习题6-6123

第七节 多元函数积分学的物理应用124

一、质心124

二、转动惯量127

三、功129

习题6-7130

数学实验（六）131

一、问题的描述131

二、实验内容131

三、思考与练习132

数学文化（六）133

一、多元函数积分学的发展历程133

二、高斯133

第七章 无穷级数136

第一节 常数项级数的概念与性质136

一、常数项级数的概念136

二、级数的基本性质139

习题7-1141

第二节 常数项级数敛散性的判别法142

一、正项级数及其敛散性的判别法142

二、交错级数及其判别法148

三、绝对收敛与条件收敛150

习题7-2152

第三节 幂级数153

一、函数项级数的一般概念153

二、幂级数及其收敛性154

三、幂级数的运算及和函数的性质159

四、函数展开成幂级数161

习题7-3168

第四节 傅里叶级数169

一、三角级数169

二、三角函数系的正交性170

三、傅里叶级数171

四、正弦级数与余弦级数176

习题7-4179

数学实验（七）179

一、问题的描述179

二、实验内容180

三、思考与练习182

数学文化（七）182

一、无穷级数的发展历程182

二、傅里叶186

第八章 微分方程188

第一节 微分方程的基本概念188

习题8-1191

第二节 一阶微分方程的可积类型191

一、可分离变量方程191

二、可化为分离变量方程的类型194

三、一阶线性方程197

四、可化为一阶线性方程的类型201

习题8-2203

第三节 一阶微分方程的数值解法204

一、欧拉方法205

二、预报校正法206

三、龙格-库塔法207

习题8-3208

第四节 可降阶的高阶微分方程208

一、不显含未知函数的二阶微分方程209

二、不显含自变量的二阶微分方程211

习题8-4214

第五节 二阶线性微分方程215

一、二阶线性微分方程解的结构215

二、二阶常系数齐次线性微分方程216

三、二阶常系数非齐次线性微分方程220

习题8-5224

第六节 微分方程的应用225

一、正规战问题226

二、人口增长预报问题229

数学实验（八）233

一、利用数学软件求解微分方程233

二、油气产量和可采储量的预测问题234

数学文化（八）238

一、常微分方程的起源与发展238

二、伯努利家族239

部分习题答案与提示242

参考文献254