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第1章 数列极限1

1.1 数列与数列极限基本定义1

1.2 收敛数列的性质6

1.3 数列极限的推广13

1.4 单调有界定理及其应用15

1.5 实数的完备性：Cauchy收敛定理23

1.6 实数的连续性：上确界下确界存在定理27

1.7 有限覆盖定理30

1.8 上极限与下极限的概念及应用32

1.9 关于实数的连续性与完备性的进一步讨论35

1.10 数列极限应用举例38

1.11 混沌现象40

探索类问题43

第2章 函数极限与连续45

2.1 集合的映射45

2.2 集合的势48

2.3 函数的基本概念和性质50

2.4 函数极限的定义与基本理论54

2.5 连续函数63

2.6 函数极限的其他形式70

2.7 收敛速度问题：无穷小与无穷大的阶的比较74

2.8 函数的一致连续性78

2.9 有限闭区间上连续函数的性质82

2.10 关于函数极限和连续的进一步讨论87

探索类问题92

第3章 函数的导数93

3.1 切线和速度问题93

3.2 导数的定义94

3.3 导数的运算法则96

3.4 高阶导数101

3.5 隐函数和参数方程的求导105

3.6 微分中值定理107

3.7 利用导数研究函数113

3.8 L'Hospital法则123

3.9 导数综合应用127

探索类问题132

第4章 Taylor公式与函数插值逼近133

4.1 函数的微分：线性逼近133

4.2 带Peano余项的Taylor定理135

4.3 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理141

4.4 函数插值逼近初步144

4.5 Taylor公式的应用：Richardson外推149

探索类问题153

第5章 不定积分154

5.1 原函数的定义154

5.2 不定积分求解策略Ⅰ：第一类换元公式156

5.3 不定积分策略Ⅱ：分部积分公式159

5.4 不定积分策略Ⅲ：第二类换元公式162

5.5 几类特殊函数的不定积分策略166

探索类问题174

第6章 函数的Riemann积分与Lebesgue积分初步177

6.1 定积分的基本概念177

6.2 可积的条件182

6.3 微积分的基本定理190

6.4 定积分的计算：分部积分与换元公式196

6.5 积分中值定理200

6.6 关于定积分的进一步讨论：Lebesgue定理204

6.7 Lebesgue积分初步209

6.8 定积分的数值计算212

探索类问题217

第7章 定积分的应用218

7.1 微元法218

7.2 平面图形的面积219

7.3 旋转曲面的面积222

7.4 旋转体的体积224

7.5 平面曲线的弧长228

7.6 平面曲线的曲率232

7.7 定积分在物理中的应用233

探索类问题238

第8章 广义积分241

8.1 无穷区间上积分的基本概念和计算241

8.2 无穷区间上广义积分的收敛性问题244

8.3 无穷区间广义积分的Dirichlet和Abel判定定理247

8.4 瑕积分的收敛与计算250

8.5 关于广义积分几个问题的思考255

探索类问题256

第9章 数项级数257

9.1 数项级数的收敛性257

9.2 正项级数的比较判别法262

9.3 正项级数的其他判别法267

9.4 一般级数的收敛问题274

9.5 绝对收敛和条件收敛278

9.6 级数的乘法282

9.7 无穷乘积285

探索类问题289

第10章 函数序列与函数项级数290

10.1 函数序列和函数项级数的几个基本概念290

10.2 函数序列的一致收敛性292

10.3 函数项级数的一致收敛性296

10.4 函数项级数和函数的性质302

10.5 幂级数307

10.6 幂级数的应用317

探索类问题319

参考文献321