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第1章 数学建模概论1

1.1数学模型与数学建模1

1.1.1原型和模型1

1.1.2数学模型的定义及分类2

1.1.3数学建模的定义和作用3

1.2数学建模的基本方法和步骤4

1.2.1数学建模的基本方法4

1.2.2数学建模的一般步骤4

1.2.3对数学建模的要求6

1.3数学建模的教与学6

1.3.1数学建模的教学6

1.3.2数学建模的学习8

1.4数学建模竞赛9

习题110

第2章 初等数学模型12

2.1抽屉原理和奇偶校验12

2.1.1抽屉原理12

2.1.2奇偶校验14

2.2比例和类比法15

2.2.1划艇比赛成绩15

2.2.2双层玻璃的功效16

2.2.3代表席位的分配18

2.2.4生猪的体重20

2.3图解法21

2.3.1过河问题21

2.3.2核军备竞赛23

2.3.3实物交换24

2.4量纲分析法26

2.4.1国际单位27

2.4.2量纲齐次原则27

2.4.3量纲分析的一般方法28

2.4.4无量纲化方法30

习题232

第3章 数学规划模型34

3.1线性规划模型34

3.1.1线性规划的基本理论34

3.1.2线性规划的求解方法35

3.1.3线性规划的应用40

3.2整数规划和0-1规划模型46

3.2.1整数规划46

3.2.2 0-1规划50

3.3非线性规划模型54

习题356

第4章 微积分模型62

4.1微分模型62

4.1.1简单的微分模型62

4.1.2森林救火模型63

4.1.3库存模型64

4.2积分模型67

4.2.1火箭的发射问题67

4.2.2 DVD的销售问题68

4.2.3人口分布问题69

4.2.4火车的行驶问题70

习题471

第5章 微分方程模型73

5.1微分方程的一般理论73

5.1.1微分方程解的存在性与唯一性73

5.1.2饱和解及饱和区间74

5.1.3局部Lipschitz条件74

5.2人口模型74

5.2.1指数增长模型——Malthus人口模型75

5.2.2阻滞增长模型（Logistic模型）75

5.2.3新产品的推广77

5.3 Van Meegeren伪造品的鉴定78

5.3.1模型的建立78

5.3.2模型的假设79

5.3.3模型的分析79

5.4冰块融化与运输问题81

5.4.1冰块融化问题的数学模型81

5.4.2冰块运输问题的数学模型82

5.5传染病模型85

5.5.1指数增长模型85

5.5.2 SI模型86

5.5.3 SIS模型87

5.5.4 SIR模型88

5.6生物种群具有年龄结构的SI传染病模型90

5.6.1模型的建立90

5.6.2模型平衡点的存在性90

5.6.3模型平衡点的稳定性90

5.7 SARS传染病的数学模型92

5.7.1两类人模型93

5.7.2三类人模型94

5.7.3四类人模型96

5.7.4五类人模型98

5.7.5模型分析99

5.7.6改进模型100

5.8药物在体内的分布103

5.8.1问题背景103

5.8.2模型假设104

5.8.3模型的建立104

5.9香烟过滤嘴的作用108

5.9.1问题背景108

5.9.2模型假设109

5.9.3模型建立与求解109

5.9.3模型分析111

习题5112

第6章 微分方程稳定性模型116

6.1微分方程稳定性理论116

6.1.1李雅普诺夫稳定性定义116

6.1.2李雅普诺夫第一法116

6.1.3一阶方程的平衡点及稳定性117

6.1.4二阶方程的平衡点及稳定性117

6.1.5其稳定性也可以用直接方法来判断117

6.2可再生资源的管理模型118

6.2.1捕捞模型119

6.2.2效益模型120

6.2.3捕捞过度模型121

6.3相互作用的种群生态模型121

6.3.1相互竞争122

6.3.2相互依存124

6.3.3种群的弱肉强食126

6.4理查森军备竞赛理论130

6.4.1问题背景130

6.4.2模型假设130

6.4.3模型建立与求解131

6.4.4模型的参数估计132

6.5具有收获率的HollingⅡ类功能性反应的捕食模型133

6.5.1模型的建立133

6.5.2模型的求解134

6.6具有收获率的HollingⅡ类功能性反应的数学模型136

6.6.1两种群都具有密度制约项的HollingⅢ类功能性反应的捕食模型136

6.6.2食饵种群具有密度制约项的具有收获率的HollingⅢ类功能性反应捕食模型139

6.7具有收获率的一般功能性反应模型的定性分析144

6.7.1模型的建立144

6.7.2模型的假设条件144

6.7.3模型的稳定性分析145

6.8具有线性收获率的Kolmogorov数学模型146

6.8.1模型的建立146

6.8.2模型的假设147

6.8.3模型的定性分析147

6.9具有收获率的广义Kolmogorov数学模型149

6.9.1模型的建立149

6.9.2模型的假设149

6.9.3模型正平衡点的稳定性分析150

习题6151

第7章 层次分析模型153

7.1层次分析法的概述153

7.1.1层次分析法产生背景及定义153

7.1.2层次分析法的基本方法与步骤153

7.1.3层次分析法在公理化体系中的应用156

7.2大学生毕业选择单位问题160

7.2.1问题描述160

7.2.2问题的求解160

7.3应急电力系统的修复计划问题163

7.3.1问题描述163

7.3.2问题的求解165

7.4企业利润合理分配问题166

7.4.1问题描述166

7.4.2问题的求解166

7.5旅游景点的选取问题167

7.5.1问题的描述167

7.5.2问题的求解167

7.6人力资源管理问题169

7.6.1问题的提出169

7.6.2模型的建立169

7.6.3人力资源方面的其他用途172

7.7公路路线方案比选问题173

7.7.1建立递阶层次结构模型173

7.7.2构造判断矩阵174

7.7.3层次单排序及其一致性检验174

7.7.4层次总排序及其一致性检验176

习题7176

第8章 差分方程模型178

8.1差分方程的一般理论178

8.1.1函数的差分178

8.1.2差分方程的基本概念179

8.1.3线性差分方程解的基本定理180

8.1.4常系数线性差分方程181

8.1.5二阶常系数线性差分方程的解法183

8.2筹措教育经费的差分模型184

8.2.1问题的提出184

8.2.2问题的求解185

8.3价格与库存的差分模型185

8.3.1问题的提出185

8.3.2问题的求解185

8.4动态经济系统的蛛网模型186

8.4.1问题的提出186

8.4.2问题的求解186

8.5种群生态学中的虫口模型188

8.5.1问题的提出188

8.5.2问题的解决188

8.6人口的控制与预测的差分模型189

8.6.1问题的提出189

8.6.2问题的求解189

8.7一些金融问题的差分方程模型191

8.7.1贷款模型191

8.7.2养老保险模型191

8.8国民收入的稳定问题192

8.8.1问题提出192

8.8.2模型假设192

8.8.3模型求解193

习题8194

第9章 生态系统的最优捕获问题的数学模型195

9.1 Volterra互惠系统的捕获优化问题的数学模型195

9.1.1模型的建立195

9.1.2系统稳定性的讨论195

9.1.3最优捕获策略196

9.2具有密度制约项的互惠系统捕获问题的数学模型197

9.2.1独立捕获模式197

9.2.2同时捕获模式199

9.3具有年龄结构的单种群捕获问题的数学模型201

9.4具有密度制约项的捕食系统的捕获问题的数学模型203

9.4.1奇点的定性分析203

9.4.2最优捕获策略204

习题9206

第10章 具有收获率的三种群数学模型208

10.1预备知识208

10.2具有收获率的简单的三种群数学模型209

10.2.1模型的建立209

10.2.2平衡点的存在性210

10.2.3平衡点的性态210

10.3一般性的具有收获率的三种群数学模型212

10.3.1模型的建立212

10.3.2模型的假设213

10.3.3平衡点的存在性213

10.3.4平衡点的性态214

10.3.5模型正平衡点的稳定性215

10.3.6数值模拟216

习题10217

第11章 常用数学建模软件218

11.1 MathCAD218

11.1.1软件概述218

11.1.2基本操作及常用功能218

11.1.3应用举例222

11.2 Mathematica227

11.2.1软件概述227

11.2.2基本操作及常用功能227

11.2.3应用举例230

11.3 Lingo236

11.3.1软件概述236

11.3.2基本操作及常用语法236

11.3.3应用举例240

习题11244

参考文献248