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第一讲 变分学与变分问题1

1.1 前言1

1.2 泛函3

1.3 典型例子3

1.4 进一步的例子7

第二讲 Euler-Lagrange方程13

2.1 函数极值必要条件之回顾13

2.2 Euler-Lagrange方程的推导14

2.3 边值条件19

2.4 求解Euler-Lagrange方程的例子21

第三讲 泛函极值的必要条件与充分条件29

3.1 数极值的再回顾29

3.2 二阶变分30

3.3 Legendre-Hadamard条件32

3.4 Jacobi场34

3.5 共轭点36

第四讲 强极小与极值场43

4.1 强极小与弱极小43

4.2 强极小值的必要条件与Weierstrass过度函数44

4.3 极值场与强极小值46

4.4 Mayer场，Hilbert不变积分52

4.5 强极小值的充分条件54

4.6 定理4.4的证明（N＞1的情形）56

第五讲 Hamilton-Jacobi理论61

5.1 程函与Carathéodory方程组61

5.2 Legendre变换62

5.3 Hamilton方程组64

5.4 Hamilton-Jacobi方程67

5.5 Jacobi定理69

第六讲 含多重积分的变分问题75

6.1 Euler-Lagrange方程的推导76

6.2 边值条件82

6.3 二阶变分83

6.4 Jacobi场86

第七讲 约束极值问题91

7.1 等周问题91

7.2 逐点约束96

7.3 变分不等式102

第八讲 守恒律与Noether定理107

8.1 单参数微分同胚与Noether定理107

8.2 能动张量与Noether定理111

8.3 内极小117

8.4 应用119

第九讲 直接方法125

9.1 Dirichlet原理与极小化方法125

9.2 弱收敛与＊弱收敛127

9.3 ＊弱列紧性130

9.4 自反空间与Eberlein-Schmulyan定理＊135

第十讲 Sobolev空间139

10.1 广义导数139

10.2 空间W m，p（Ω）140

10.3 泛函表示143

10.4 光滑化算子144

10.5 Sobolev空间的重要性质与嵌入定理145

10.6 Euler-Lagrange方程151

第十一讲 弱下半连续性157

11.1 凸集与凸函数157

11.2 凸性与弱下半连续性159

11.3 一个存在性定理162

11.4 拟凸性＊163

第十二讲 线性微分方程的边值问题与特征值问题171

12.1 线性边值问题与正交投影171

12.2 特征值问题175

12.3 特征展开179

12.4 特征值的极小极大刻画183

第十三讲 存在性与正则性187

13.1 正则性（n＝1）188

13.2 正则性续（n＞1）192

13.3 几个变分问题的求解194

13.4 变分学的局限201

第十四讲 对偶作用原理与Ekeland变分原理203

14.1 凸函数的共轭函数203

14.2 对偶作用原理207

14.3 Ekeland变分原理210

14.4 Fréchet导数与Palais-Smale条件212

14.5 Nehari技巧215

第十五讲 山路定理及其推广与应用219

15.1 山路（Mountain Pass）定理219

15.2 应用227

第十六讲 周期解、异宿轨与同宿轨235

16.1 问题235

16.2 周期解237

16.3 异宿轨242

16.4 同宿轨246

第十七讲 测地线与极小曲面251

17.1 测地线251

17.2 极小曲面255

第十八讲 变分问题的数值方法267

18.1 Ritz方法267

18.2 有限元269

18.3 Cea定理274

18.4 最优化方法——共轭梯度法276

第十九讲 最优控制问题283

19.1 问题的提法283

19.2 Pontryagin极大值原理287

19.3 Bang-Bang原理293

第二十讲 有界变差函数与图像恢复295

20.1 一元有界变差函数的回顾295

20.2 多元有界变差函数299

20.3 松弛函数305

20.4 图像恢复与Rudin-Osher-Fatemi模型307

参考文献311

索引315