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绪论1

0.1.1有限维空间矩阵运算的特征值2

0.1.2无穷维空间函数按坐标分解4

0.1.3 Sturm-Liouville微分算子按特征分解6

0.1.4无穷维空间线性算子的谱分解8

第一章 赋范空间和有界线性算子11

1.1 Banach空间和Hilbert空间11

1.1.1赋范空间和Banach空间11

1.1.2内积空间和Hilbert空间14

1.1.3正交集和正交基17

习题1.119

1.2连续线性算子22

1.2.1连续线性算子和它的范数22

1.2.2赋范线性空间B（X，Y）25

1.2.3逆算子和有界的逆算子28

习题1.230

1.3共轭算子32

1.3.1 Banach空间上的共轭算子32

1.3.2 Riesz定理和Lax-Milgram定理33

1.3.3 Hilbert空间上的共轭算子37

1.3.4共轭算子的例39

习题1.340

1.4投影算子42

1.4.1互补的线性子空间和投影算子42

1.4.2连续的投影算子43

1.4.3不变子空间和约化子空间45

习题1.447

1.5正常算子和自共轭算子49

1.5.1正常算子和自共轭算子的定义、例49

1.5.2自共轭算子的性质50

1.5.3正常算子的性质52

1.5.4非负的和正的算子54

1.5.5自共轭线性算子的平方根57

习题1.559

1.6紧算子61

1.6.1紧的线性算子的定义和例61

1.6.2紧线性算子的性质64

1.6.3弱列紧66

1.6.4紧算子的有穷秩逼近67

习题1.669

第二章 有界线性算子的谱72

2.1谱集和正则点集72

2.1.1线性算子正则点和谱点的定义72

2.1.2线性算子谱的例75

习题2.181

2.2谱集的基本性质82

2.2.1有界线性算子的谱82

2.2.2 近似点谱86

2.2.3有界线性算子的谱半径87

习题2.290

2.3线性算子的几何分析92

2.3.1单位分解和投影算子的加权和93

2.3.2投影算子加权和的性质95

2.3.3投影算子加权和的谱96

习题2.399

2.4紧线性算子的谱101

2.4.1紧线性算子的特征值101

2.4.2紧算子的谱集102

2.4.3例105

习题2.4106

2.5紧线性算子的结构107

2.5.1紧线性算子的指标107

2.5.2紧线性算子的谱分解110

2.5.3 Riesz-Schauder定理112

习题2.5114

2.6正常算子和自共轭算子的谱115

2.6.1正常线性算子的谱115

2.6.2有界自共轭算子的谱116

2.6.3紧的正常算子的谱分解119

2.6.4极大极小原理121

2.6.5笛卡儿分解122

习题2.6124

2.7有界自共轭算子的谱分解126

2.7.1谱族126

2.7.2谱积分129

2.7.3谱族与线性算子的谱132

习题2.7135

2.8自共轭算子的演算和它的谱分解137

2.8.1算子演算和谱积分137

2.8.2酉算子138

习题2.8140

第三章 无界线性算子143

3.1闭的和可闭的线性算子143

3.1.1线性算子的图和图模143

3.1.2闭线性算子的例146

3.1.3可闭的线性算子147

习题3.1149

3.2共轭算子149

3.2.1无界线性算子的共轭算子149

3.2.2二次共轭算子151

习题3.2154

3.3对称算子和自共轭算子155

3.3.1对称算子155

3.3.2自共轭的线性算子156

习题3.3159

3.4对称算子的结构和亏指数160

3.4.1对称算子的值域和零空间160

3.4.2共轭算子定义域的结构162

3.4.3对称线性算子的亏指数164

习题3.4166

3.5 Cayley变换和对称算子的自共轭扩张167

3.5.1 Cayley变换167

3.5.2对称算子的对称扩张170

习题3.5172

第四章 无界线性算子的谱算子174

4.1无界线性算子谱的定义和例174

4.1.1无界线性算子谱的定义174

4.1.2谱分析的例子175

习题4.1181

4.2无界线性算子谱的分布182

4.2.1无界线性算子谱集的性质182

4.2.2线性算子的数值域183

4.2.3线性算子的正则型域186

4.2.4无界自共轭算子谱集的性质187

4.2.5 自共轭算子的谱集非空189

习题4.2190

4.3自共轭算子的谱分解191

4.3.1自共轭算子的谱族191

4.3.2谱积分192

4.3.3自共轭线性算子的谱分解196

习题4.3197

4.4正常算子的谱分解198

4.4.1正常算子和它的谱族198

4.4.2有界正常算子的谱分解202

习题4.4204

4.5线性算子的本质谱206

4.5.1本质谱的定义和性质206

4.5.2本质谱在紧摄动下的不变性209

4.5.3本质谱核210

习题4.5211

第五章 线性常微分算子213

5.1一阶微分算子和它的共轭算子213

5.1.1有限区间上定义的一阶微分算子213

5.1.2无穷区间上定义的一阶微分算子217

5.2 Sturm-Liouville算子219

5.2.1 Sturm-Liouville算子和它的预解算子219

5.2.2 Sturm-Liouville算子的谱222

5.3高阶微分算子224

5.3.1最大最小算子和亏指数224

5.3.2具有紧预解算子的微分算子227

5.4极限点型和极限圆型微分算子的自共轭域228

5.4.1有限区间上定义的微分算子的自共轭域228

5.4.2无穷区间上定义的微分算子的自共轭域229

5.5具有中间亏指数奇型微分算子的自共轭扩张231

5.5.1亏指数的取值范围231

5.5.2最大算子域的分离性刻画232

5.5.3微分算子自共轭域的完全刻画237

5.6微分算子的辛结构242

5.6.1辛空间242

5.6.2高阶奇型微分算子自共轭域的辛几何刻画245

5.6.3对称微分算子耗散扩张的辛几何刻画250

第六章 常微分算子的谱分析255

6.1数学物理中的微分算子和Schrodinger算子255

6.2自共轭微分算子的谱257

6.2.1 A0的共轭算子257

6.2.2常系数自共轭微分算子及其相关摄动下的本质谱258

6.2.3常系数自共轭Euler微分算子及其相关摄动下的本质谱274

6.3自共轭微分算子谱的离散性282

6.3.1一般类型微分算子谱的离散性282

6.3.2 Euler微分算子谱是离散的充分必要条件288

6.4 J自共轭微分算子的本质谱290

6.4.1 J自共轭微分算子的定义290

6.4.2常系数J对称微分算子及其相关摄动的本质谱291

6.4.3常系数J自共轭Euler微分算子及其相关摄动的本质谱295

6.4.4具有可积系数的二阶J对称微分算子的本质谱296

6.5 J自共轭微分算子谱的离散性300

6.5.1高阶J自共轭微分算子谱离散的充分条件300

6.5.2一项高阶自共轭微分算子谱是离散的充分条件306

参考文献309

索引312