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第1章 引论1

导读1

1.1 数值计算方法2

1.2 误差的种类及其来源10

1.3 绝对误差和相对误差12

1.3.1 绝对误差和绝对误差限12

1.3.2 相对误差和相对误差限13

1.4 有效数字及其与误差的关系14

1.4.1 有效数字14

1.4.2 有效数字与相对误差的关系15

1.5 误差的传播与估计16

1.5.1 误差估计的一般公式17

1.5.2 误差在算术运算中的传播18

1.6 算法的数值稳定性及其注意事项21

1.6.1 算法的数值稳定性21

1.6.2 数值计算中应该注意的问题23

1.7 数值实验24

小结27

习题127

实验128

秦九韶简介28

主要参考文献29

第2章 插值方法31

导读31

2.1 插值概念32

2.1.1 代数插值问题32

2.1.2 插值多项式的存在唯一性33

2.2 拉格朗日插值公式34

2.2.1 两点插值34

2.2.2 三点插值36

2.2.3 多点插值38

2.2.4 插值余项39

2.3 埃特金算法41

2.4 埃尔米特插值公式44

2.4.1 泰勒插值44

2.4.2 埃尔米特插值45

2.5 分段插值48

2.5.1 高次插值的龙格现象48

2.5.2 分段插值的概念49

2.5.3 分段线性插值50

2.5.4 分段三次埃尔米特插值51

2.6 样条插值52

2.6.1 样条函数的概念52

2.6.2 三次样条插值53

2.6.3 三次样条插值函数的导出55

2.7 曲线拟合的最小二乘法58

2.7.1 直线拟合59

2.7.2 多项式拟合60

2.7.3 其他拟合类型62

2.8 数值实验63

小结68

习题269

实验270

拉格朗日简介72

主要参考文献73

第3章 数值积分与数值微分74

导读74

3.1 数值积分基本概念75

3.1.1 数值积分法75

3.1.2 代数精度76

3.2 插值型数值积分公式78

3.2.1 低阶插值型数值积分公式78

3.2.2 牛顿-柯特斯公式80

3.3 复合数值积分公式82

3.3.1 复合梯形公式82

3.3.2 复合辛普森公式82

3.3.3 变步长梯形公式83

3.3.4 龙贝格算法86

3.4 高斯型数值积分公式90

3.4.1 定义及其特征90

3.4.2 高斯公式的一般构造法93

3.5 数值微分94

3.5.1 差商与微商94

3.5.2 插值函数与数值微分95

3.5.3 数值积分与数值微分96

3.6 数值实验97

小结102

习题3103

实验3103

勒让德简介104

主要参考文献104

第4章 非线性方程求根106

导读106

4.1 根的搜索107

4.1.1 逐步搜索法（扫描法）107

4.1.2 区间二分法107

4.2 迭代法109

4.2.1 迭代法的设计思想109

4.2.2 线性迭代的启示111

4.2.3 压缩映像原理112

4.2.4 迭代法的局部收敛性115

4.2.5 迭代法的收敛速度116

4.3 牛顿法116

4.3.1 牛顿公式及误差分析117

4.3.2 牛顿法的局部收敛性119

4.3.3 牛顿法的应用及算法119

4.4 牛顿法的改进与变形121

4.4.1 牛顿下山法121

4.4.2 弦截法123

4.4.3 快速弦截法123

4.5 数值实验124

小结134

习题4134

实验4135

牛顿简介135

主要参考文献136

第5章 线性方程组的迭代法138

导读138

5.1 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法139

5.1.1 雅可比迭代法139

5.1.2 高斯-赛德尔迭代法142

5.2 迭代法的收敛性145

5.2.1 迭代收敛的概念146

5.2.2 严格对角占优阵的概念146

5.2.3 迭代收敛的一个充分条件147

5.3 超松弛迭代148

5.4 数值实验150

小结154

习题5155

实验5156

雅可比简介156

主要参考文献157

第6章 线性方程组的直接法158

导读158

6.1 追赶法159

6.1.1 二对角方程组的回代过程159

6.1.2 追赶法160

6.2 消去法163

6.2.1 高斯消去法163

6.2.2 高斯-若尔当消去法166

6.2.3 高斯主元素消去法167

6.3 收敛性170

6.3.1 病态方程组170

6.3.2 精度分析173

6.4 数值实验173

小结180

习题6181

实验6182

高斯简介182

主要参考文献183

第7章 微分方程的数值解法185

导读185

7.1 欧拉方法186

7.1.1 欧拉格式186

7.1.2 单步法的局部截断误差和阶189

7.1.3 梯形方法190

7.1.4 改进的欧拉格式191

7.2 龙格-库塔方法192

7.2.1 龙格-库塔方法的设计思想192

7.2.2 龙格-库塔方法的推导194

7.3 亚当姆斯方法196

7.3.1 亚当姆斯格式196

7.3.2 亚当姆斯预报-校正系统198

7.4 收敛性和稳定性198

7.4.1 收敛性198

7.4.2 稳定性199

7.5 方程组和高阶方程的情形200

7.5.1 一阶方程组200

7.5.2 高阶方程201

7.6 数值实验201

小结206

习题7207

实验7208

欧拉简介208

主要参考文献209

部分习题参考答案211