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第1章 预备知识1

1.1 复数及其运算1

1.1.1 复数及其共轭1

1.1.2 复数的运算1

1.2 复变函数的导数和积分2

1.2.1 复变函数2

1.2.2 复变函数的微商（导数）3

1.2.3 复变函数的积分4

1.2.4 平面标量场9

1.3 级数10

1.3.1 复数项级数10

1.3.2 泰勒级数11

1.3.3 洛朗级数12

1.4 留数定理及其应用13

1.4.1 奇点的类型13

1.4.2 留数定理14

1.4.3 留数定理在实变函数定积分计算中的应用16

1.5 傅里叶级数与积分19

1.5.1 傅里叶级数20

1.5.2 复数形式的傅里叶级数21

1.5.3 实数傅里叶级数与复数傅里叶级数的比较22

1.5.4 傅里叶积分22

1.6 傅里叶变换24

1.7 拉普拉斯变换27

习题132

第2章 定解问题34

2.1 定解问题的提法34

2.2 数学物理方程的导出与归类34

2.2.1 波动方程34

2.2.2 运输方程42

2.2.3 稳定分布问题45

2.2.4 其他常见的数学物理方程46

2.3 定解条件47

2.3.1 初始条件47

2.3.2 边界条件47

2.4 定解问题的适定性49

2.5 线性偏微分方程与叠加原理49

2.6 δ函数50

2.6.1 δ函数的定义及其性质50

2.6.2 δ函数的导数及其性质52

2.6.3 δ函数在定解问题中的应用53

2.7 二阶线性偏微分方程的分类54

2.7.1 方程的分类54

2.7.2 方程的标准形式55

习题259

第3章 分离变量法61

3.1 齐次方程齐次边界条件的定解问题61

3.1.1 问题的提出61

3.1.2 解的物理意义64

3.2 分离变量法应用实例67

3.3 非齐次波动方程和输运方程的解法73

3.4 非齐次边界条件的处理78

3.5 具有非齐次边界条件的定解问题82

3.6 泊松方程的特解法88

3.6.1 泊松方程任意特解的构造88

3.6.2 泊松方程的解89

3.7 施图姆-刘维尔本征值问题92

3.7.1 施图姆-刘维尔方程92

3.7.2 施图姆-刘维尔本征值问题93

3.7.3 施图姆-刘维尔本征值问题的普遍性质93

3.7.4 施图姆-刘维尔本征值问题与厄米算符本征值问题的关系97

习题3100

第4章 行波法与积分变换法102

4.1 一维波动方程的达朗贝尔公式102

4.2 三维无界空间中的波动方程106

4.3 积分变换法113

4.3.1 傅里叶变换的应用113

4.3.2 拉普拉斯变换的应用116

习题4120

第5章 格林函数法122

5.1 拉普拉斯方程两种常见的定解问题122

5.1.1 内问题122

5.1.2 外问题123

5.2 调和函数的基本性质124

5.3 格林函数128

习题5133

第6章 贝塞尔函数134

6.1 贝塞尔方程的导出134

6.2 贝塞尔方程的解136

6.3 n为整数时贝塞尔方程的通解139

6.4 贝塞尔函数的递推公式140

6.5 将函数展为贝塞尔函数的级数144

6.5.1 贝塞尔函数的零点144

6.5.2 贝塞尔函数的正交性145

6.5.3 广义傅里叶级数147

6.6 虚宗量贝塞尔函数与开尔文函数151

习题6153

第7章 勒让德多项式155

7.1 勒让德方程的导出155

7.2 勒让德方程的解157

7.2.1 勒让德方程的解157

7.2.2 勒让德多项式159

7.3 勒让德多项式的性质162

7.3.1 勒让德多项式的几条基本性质162

7.3.2 勒让德多项式的正交性162

7.3.3 勒让德多项式的母函数（或生成函数）164

7.3.4 勒让德多项式的递推公式166

7.4 勒让德多项式的应用168

7.5 连带勒让德方程的解171

7.5.1 连带勒让德函数171

7.5.2 球函数175

习题7177

第8章 求解线性偏微分方程近似方法简介179

8.1 变分法179

8.1.1 泛函179

8.1.2 变分问题179

8.1.3 变分法的类型及例子180

8.1.4 带有附加条件的变分问题184

8.2 差分法185

8.2.1 将微分方程化为差分方程185

8.2.2 差分方程的求解方法187

习题8194

第9章 非线性微分方程195

9.1 特殊高次一阶微分方程的解法195

9.2 非线性数学物理方程199

9.2.1 非线性常微分方程199

9.2.2 非线性偏微分方程202

9.2.3 函数方程204

9.3 某些非线性微分方程的求解方法205

9.4 椭圆方程及其雅可比椭圆函数解210

9.4.1 第一类椭圆方程210

9.4.2 第二类椭圆方程216

9.4.3 第三类椭圆方程219

9.4.4 第四类椭圆方程220

9.5 二阶非线性微分方程及其解法222

9.6 非线性微分方程的物理分析226

9.7 非线性微分方程的行波法236

习题9238

习题参考答案240

参考书目251

附录252

附录A 矢量微分算符？的相关公式252

附录B Γ函数254

附录C 椭圆积分与椭圆函数256

附录D 拉普拉斯变换简表258