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第一篇 线性空间及线性算子1

第一章 R3空间的向量分析1

1.1 向量的概念1

1.2 R3空间的向量代数3

1.3 R3空间的向量分析8

1.4 R3空间中向量分析的一些重要公式13

第一章 习题15

第二章 R3空间曲线坐标系中的向量分析18

2.1 R3空间中的曲线坐标系18

2.2 曲线坐标系中的度量20

2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式24

2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式25

2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式27

2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式29

第二章 习题31

第三章 线性空间33

3.1 线性空间的定义33

3.2 线性空间的内积34

3.3 Hilbert（希尔伯特）空间37

3.4 线性算符39

3.5 线性算符的本征值和本征向量44

第三章 习题46

第二篇 复变函数47

第四章 复变函数的概念47

4.1 映射47

4.2 复数48

4.3 复变函数52

第四章 习题56

第五章 解析函数58

5.1 复变函数的导数58

5.2 复变函数的解析性60

5.3 复势62

5.4 解析函数变换64

第五章 习题68

第六章 复变函数积分69

6.1 复变函数的积分69

6.2 Cauchy（柯西）积分定理70

6.3 Cauchy（柯西）积分公式72

6.4 解析函数高阶导数的积分表达式73

第六章 习题74

第七章 复变函数的级数展开76

7.1 复变函数项级数76

7.2 解析函数的Taylor（泰勒）展开77

7.3 Taylor展开的理论应用80

7.4 解析函数的Laurent（洛朗）展开82

第七章 习题86

第八章 留数定理及其在实积分中的应用88

8.1 留数定理88

8.2 留数的一般求法91

8.3 解析函数在无穷远点的留数93

8.4 留数定理在实积分中的应用95

8.5 Hilbert（希尔伯特）变换107

第八章 习题109

第三篇 积分变换与δ函数112

第九章 Fourier（傅里叶）变换112

9.1 Fourier级数112

9.2 Fourier变换114

9.3 Fourier变换的基本性质117

第九章 习题121

第十章 Laplace（拉普拉斯）变换122

10.1 Laplace（拉普拉斯）变换122

10.2 Laplace变换的基本性质127

10.3 Laplace变换的反演130

10.4 Laplace变换的应用132

第十章 习题135

第十一章 δ函数137

11.1 δ函数的定义137

11.2 δ函数的性质139

11.3 δ函数的导数142

11.4 三维δ函数143

11.5 δ函数的Fourier变换及Fourier级数展开144

第十一章 习题147

第十二章 小波变换初步149

12.1 Gabor（伽博）变换150

12.2 小波变换153

12.3 小波变换中的Heisenberg（海森堡）不确定性关系155

第四篇 数学物理方程159

第十三章 波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题159

13.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式159

13.2 波动方程及其定解条件161

13.3 输运方程及其定解条件166

13.4 Poisson方程及其定解条件171

13.5 Laplace方程和调和函数173

13.6 三类方程定解问题小结175

第十三章 习题178

第十四章 分离变量法180

14.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法181

14.2 Sturm-Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题185

14.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法195

14.4 非齐次边界条件下的分离变量法199

14.5 分离变量法小结201

第十四章 习题202

第十五章 曲线坐标系下方程的分离变量204

15.1 球坐标系下方程的分离变量204

15.2 柱坐标系下方程的分离变量208

15.3 二阶线性常微分方程的级数解法210

第十五章 习题216

第十六章 球函数219

16.1 Legendre（勒让德）多项式219

16.2 Legendre多项式的主要性质226

16.3 具有轴对称的Laplace方程的求解230

16.4 连带Legendre函数239

16.5 球函数244

附录：球函数的加法公式248

第十六章 习题252

第十七章 柱函数255

17.1 Bessel（贝塞尔）函数255

17.2 Bessel函数的递推关系260

17.3 柱函数的定义262

17.4 整数阶Bessel函数Jm（x）的生成函数263

17.5 Bessel方程的本征值问题265

17.6 虚宗量Bessel函数277

17.7 Hankel（汉克尔）函数284

17.8 球Bessel函数285

第十七章 习题292

第十八章 Green（格林）函数法295

18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义295

18.2 Laplace算子的基本解299

18.3 Laplace算子的Green函数302

18.4 Laplace算子的镜像Green函数法306

18.5 Helmholtz算子的基本解310

18.6 输运算子的Green函数313

18.7 波动算子的基本解319

第十八章 习题322

第十九章 其他求解方法及方程323

19.1 积分变换法323

19.2 行波法329

19.3 冲量定理法335

19.4 Schr？dinger（薛定谔）方程、谐振子势336

附录：Hermite多项式的性质340

第十九章 习题342

第二十章 非线性数学物理方程初步344

20.1 Huygens（惠更斯）等时摆问题345

20.2 KdV方程和孤立波349

20.3 一类非线性方程的齐次平衡解法352

第五篇 变分法初步361

第二十一章 泛函的变分361

21.1 泛函的概念361

21.2 泛函的变分362

第二十二章 变分原理366

22.1 泛函的极值366

22.2 变分原理、Euler-Lagrange（欧拉-拉格朗日）方程367

22.3 Hamilton（哈密顿）原理371

22.4 Hamilton泛函和正则方程374

22.5 带约束条件的泛函变分376

22.6 Noether（诺德）定理381

第二十一、二十二章 习题388

附录：分离变量法389

主要参考文献394