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第1篇 复变函数3

第1章 复变函数及其导数与积分3

1.1引言3

1.2复数与复变函数5

1.2.1复数5

1.2.2复平面5

1.2.3复数加法的几何表示7

1.2.4复平面上的点集8

1.2.5复变函数10

1.3复变函数的极限与连续13

1.4复球面与无穷远点13

1.5解析函数14

1.5.1复变函数的导数与微分14

1.5.2解析函数的概念及其简单性质15

1.5.3柯西-黎曼条件16

1.6复变函数的积分19

1.6.1复变函数积分的概念与计算19

1.6.2复变函数积分的简单性质21

1.6.3柯西积分定理及其推广22

1.6.4柯西积分公式及其推论25

习题129

第2章 复变函数的幂级数33

2.1复数序列和复数项级数33

2.1.1复数序列及其收敛性33

2.1.2复数项级数及其收敛性34

2.1.3复数项级数的绝对收敛性35

2.2复变函数项级数和复变函数序列35

2.3幂级数38

2.4幂级数和函数的解析性41

2.5解析函数的泰勒展开式42

2.6解析函数零点的孤立性及唯一性定理45

2.7解析函数的洛朗级数展开式46

2.7.1洛朗级数46

2.7.2解析函数的洛朗展开式47

2.7.3洛朗级数与泰勒级数的关系49

2.7.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开式49

2.8解析函数的孤立奇点及其分类53

2.8.1可去奇点53

2.8.2极点54

2.8.3本性奇点55

2.8.4复变函数在无穷远点的性态56

习题256

第3章 留数及其应用61

3.1留数与留数定理61

3.2留数的计算62

3.2.1一级极点的情形62

3.2.2高级极点的情形62

3.3无穷远点处的留数64

3.4留数在定积分计算中的应用66

3.4.1形如？2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分67

3.4.2形如？＋∞ －∞ R（x）dx的积分68

3.4.3形如？＋∞ －∞ R P（x）/Q（x）eimx dx的积分69

3.5复变函数在物理中的应用简介72

3.5.1解析函数的物理解释72

3.5.2两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系 泊松积分公式73

习题376

第2篇 矢量分析与场论83

第4章 矢量分析与场论初步83

4.1矢量函数及其导数与积分83

4.1.1场与矢量函数83

4.1.2矢量函数的极限与连续性84

4.1.3矢量函数的导数86

4.1.4矢量函数的积分87

4.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式89

4.2.1直角坐标系下“三度”及哈密顿算子89

4.2.2正交曲线坐标系下的“三度”97

4.3正交曲线坐标系下的拉普拉斯算符、格林第一公式和格林第二公式105

4.4算子方程106

习题4112

第3篇 数学物理方法117

第5章 数学物理方程及其定解条件117

5.1数学物理基本方程的建立117

5.1.1波动方程117

5.1.2热传导方程和扩散方程123

5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程126

5.1.4亥姆霍兹方程127

5.2定解条件128

5.2.1初始条件128

5.2.2边界条件129

5.3定解问题的提法131

5.4二阶线性偏微分方程的分类与化简 解的叠加原理131

5.4.1含有两个自变量二阶线性偏微分方程的分类与化简131

5.4.2线性偏微分方程的叠加原理137

习题5138

第6章 分离变量法145

6.1（1＋1）维齐次方程的分离变量法145

6.1.1有界弦的自由振动145

6.1.2有限长杆上的热传导153

6.2二维拉普拉斯方程的定解问题157

6.3非齐次方程的解法163

6.4非齐次边界条件的处理170

习题6175

第7章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题185

7.1二阶常微分方程的级数解法185

7.1.1常点邻域内的级数解法185

7.1.2勒让德方程的级数解187

7.1.3正则奇点和非正则奇点附近的级数解191

7.1.4贝塞尔方程的级数解193

7.2施图姆-刘维尔本征值问题198

7.2.1施图姆-刘维尔方程198

7.2.2本征值问题的一般提法199

7.2.3本征值问题的一般性质201

习题7202

第8章 贝塞尔函数及其应用211

8.1贝塞尔方程的引入211

8.2贝塞尔函数的性质213

8.2.1贝塞尔函数的基本形态及本征值问题213

8.2.2贝塞尔函数的递推公式215

8.2.3贝塞尔函数的正交性和模方218

8.2.4按贝塞尔函数的广义傅里叶级数展开219

8.3贝塞尔函数在定解问题中的应用221

8.4修正贝塞尔函数226

8.4.1第一类修正贝塞尔函数226

8.4.2第二类修正贝塞尔函数227

8.5可化为贝塞尔方程的方程231

8.5.1开尔文方程231

8.5.2其他例子231

8.5.3含贝塞尔函数的积分232

习题8233

第9章 勒让德多项式及其应用244

9.1勒让德方程与勒让德多项式的引入244

9.2勒让德多项式的性质247

9.2.1勒让德多项式的微分表示247

9.2.2勒让德多项式的积分表示249

9.2.3勒让德多项式的母函数249

9.2.4勒让德多项式的递推公式251

9.2.5勒让德多项式的正交归一性252

9.2.6按Pn（x）的广义傅里叶级数展开253

9.2.7一个重要公式254

9.3勒让德多项式的应用254

9.4关联勒让德多项式259

9.4.1关联勒让德函数的微分表示260

9.4.2关联勒让德函数的积分表示260

9.4.3关联勒让德函数的正交性与模方260

9.4.4按Pm（x）的广义级数展开261

9.4.5关联勒让德函数的递推公式261

9.5其他特殊函数方程简介263

9.5.1埃尔米特多项式263

9.5.2拉盖尔多项式265

习题9266

第10章 行波法与积分变换法273

10.1一维波动方程的达朗贝尔公式273

10.2三维波动方程的泊松公式277

10.2.1三维波动方程的球对称解278

10.2.2三维波动方程的泊松公式278

10.2.3泊松公式的物理意义282

10.3傅里叶积分变换法求解定解问题285

10.3.1预备知识——傅里叶变换及性质285

10.3.2傅里叶变换法287

10.4拉普拉斯变换法求解定解问题290

10.4.1拉普拉斯变换及其性质290

10.4.2拉普拉斯变换法291

习题10295

第11章 格林函数法306

11.1引言306

11.2δ函数的定义与性质307

11.2.1δ函数的定义307

11.2.2广义函数的导数308

11.2.3δ函数的傅里叶变换309

11.2.4高维δ函数309

11.3泊松方程的边值问题310

11.3.1格林公式310

11.3.2解的积分形式——格林函数法311

11.3.3格林函数关于源点和场点是对称的314

11.4格林函数的一般求法315

11.4.1无界区域的格林函数315

11.4.2用本征函数展开法求边值问题的格林函数317

11.5用电像法求某些特殊区域的狄利克雷-格林函数318

11.5.1泊松方程的狄利克雷-格林函数及其物理意义318

11.5.2用电像法求格林函数320

习题11323

附录A 常微分方程简介327

附录B Г函数的定义和基本性质330

附录C 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演331

附录D 傅里叶变换和拉普拉斯变换简表333

参考文献338