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甲部 Lagrangian动力学3

第1章　初等动力学大纲3

1.1　引言3

1.2　基本概念3

1.2.1　时间、空间、速度与加速度3

1.2.2　质量、力及动量4

1.3　牛顿运动定律5

1.4　功、动能与位能5

1.5　守恒定理及Hamiltonian函数对时、空位移的不变性6

1.6　Galileo-Newtonian相对性原理7

1.7　转动坐标系统与Coriolis定理8

1.8　刚体的转动11

习题14

第2章　虚功原理；d'Alembert原理17

2.1　虚功原理17

2.2　d'Alembert原理20

习题22

第3章　Lagrange方程式23

3.1　广义坐标23

3.2　Lagrange方程式之推导24

3.3　Lagrange方程式之首次积分：循环坐标26

3.4　Lagrange方程式之首次积分：能量原理27

3.5　借首次积分降低Lagrange方程式的阶次：Routh函数27

习题32

第4章　Lagrange方程式：含循环坐标之系统33

4.1　循环坐标系统33

4.2　等循环坐标系统34

4.3　缓渐运动36

第5章　Lagrange方程式：转动坐标系统38

5.1　Coriolis及输运加速度38

5.2　相对地球之运动40

5.3　Larmor定理42

习题43

第6章　Lagrange方程式：微小振动44

6.1　微小振动的普遍理论44

6.2　三角形YX2系统之简正振动46

6.3　简正振动问题之矩阵解法50

习题54

第7章　Lagrange方程式：刚体动力学56

7.1　运动学的参数56

7.1.1　Euler参数56

7.1.2　Cayley-Klein参数57

7.1.3　Euler角58

7.1.4　Euler的运动关系式59

7.2　Euler的刚体动力学方程式59

7.3　无外力作用之刚体（绕固定点）转动：对称陀螺60

7.3.1　刚体自由转动的离心力矩61

7.3.2　能量及角动量积分61

7.3.3　以Euler角表示的运动方程式62

7.3.4　无力场下之对称陀螺（Euler陀螺）63

7.3.5　特殊情形63

7.4　重力场中的对称陀螺（Lagrange陀螺）64

7.5　Foucault回转器71

7.5.1　陀螺之轴被限制于子午面内运动71

7.5.2　回转罗盘72

7.6　Kowalevski陀螺72

附录一：有一固定点之刚体运动方程式之解74

附录二：最后乘因数77

习题79

第8章　Lagrange方程式：回转力81

8.1　回转力81

8.2　广义“回转力”85

8.2.1 由循环坐标引起的回转力85

8.2.2　由坐标系转动所引起的回转力86

8.2.3　由变化的约束条件所产生的回转力86

8.2.4　对稳定运动之微小振动86

8.2.5　在约束下之微小振荡89

第9章　Lagrange方程式：电流91

9.1　作用于电路上之机械力91

9.2　电流之感应92

9.3　电容器之放电93

9.4　网路理论：具有约束条件之Lagrange方程式93

习题95

第10章　Lagrange方程式：非完全系统96

10.1　非完全系统之Lagrange方程式97

10.2　例题：粗糙面上圆盘之滚动98

10.3　粗糙面上圆盘之滚动：Appell方法101

10.4　第1节之方法2）对完全系统之推广103

第11章　Lagrange方程式：准坐标；相对论力学；电磁场105

11.1　准坐标105

11.2　相对论力学107

11.3　电磁场108

第12章　Gauss-Hertz及Appell原理111

12.1　最小曲度原理（Gauss及Hertz原理）111

12.2　Appell的运动方程式114

12.3　最小曲度原理与Appell方程式之关系116

参考文献118

乙部 Hamiltonian动力学120

导言120

第1章　变分法121

1.1　定义121

1.2　Euler方程式123

1.3　变分问题的另一形式125

1.4　Hilbert氏的“独立积分”S128

1.5　最小值的必需及充足条件129

习题132

第2章　Hamilton原理与最小作用量原理133

2.1　Hamilton原理133

2.2　最小作用量原理134

2.3　Helmholtz变分原理136

习题140

第3章　Hamilton正则方程式141

3.1　正则方程式与Lagrange方程式的演绎关系；Legendre变换141

3.2　正则方程式与Hamilton原理之演绎关系143

3.3　正则方程式的积分146

习题147

第4章　正则变换148

4.1　正则变换之定义148

4.1.1 S=S(q,Q,t)149

4.1.2　S＊=S＊(q,P,t)149

4.1.3 S＊＊=S＊＊(Q,p,t)149

4.1.4 S＊＊＊=S＊＊＊(P,p,t)150

4.2 一个动力系统的运动与连续展开的正则变换151

4.3 Poincaré绝对积分不变量，Liouville方程式152

4.4 相对积分不变量155

4.5　Lagrange括号、Poisson括号与Poisson定理157

4.5.1　Lagrange括号之定义157

4.5.2　Poisson括号159

4.5.3　Poisson定理161

4.6　正则变换之群性166

4.7　正则变数t与-E167

习题168

第5章　古典力学中的时间可逆性171

5.1　时间的观念，“时矢”171

5.2　时间的逆转视作正则变换172

习题174

第6章　Hamilton-Jacobi理论175

6.1　Hamilton-Jacobi理论175

6.2　Hamilton函数与时间无关的动力系统177

6.3　具有循环坐标的动力系统179

6.4　Hamilton力学的变换理论184

习题186

第7章 角与作用量变数，缓渐不变性188

7.1　单一周期系统、角与作用量变数188

7.1.1　秤动189

7.1.2　转动189

7.2　缓渐不变性原理193

7.3　可分离的多重周期系统196

7.3.1　非简并系统（nondegenerate systems）198

7.3.2　简并系统（degenerate systems）199

第8章　力学与光学202

8.1　波及线光学（或物理及几何光学）202

8.2　几何光学：反射及折射定律204

8.3　力学与光学：Hamilton,de Broglie与Schr？dinger206

参考文献210

索引211