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第一部分 边值问题3

第一章 变分形式Ritz-Galerkin方法3

1.1 二次函数的极值3

1.2 两点边值问题5

1.2.1 弦的平衡5

1.2.2 Sobolev空间Hm（I）6

1.2.3 极小位能原理9

1.2.4 虚功原理14

1.3 二阶椭圆边值问题16

1.3.1 Sobolev空间Hm（G）16

1.3.2 极小位能原理17

1.3.3 自然边值条件20

1.3.4 虚功原理21

1.4 Ritz-Galerkin方法23

1.5 谱方法29

1.5.1 三角函数逼近29

1.5.2 Fourier谱方法31

1.5.3 拟谱方法（配置法）35

第二章 有限元空间与椭圆型方程的有限元法38

2.1 两点边值问题的有限元法38

2.1.1 从Ritz法出发39

2.1.2 从Galerkin法出发43

2.2 线性有限元法的误差估计47

2.2.1 H1-估计47

2.2.2 L2-估计 对偶论证法49

2.3 一维高次元空间52

2.3.1 一次元（线性元）52

2.3.2 二次元53

2.3.3 三次元55

2.4 二维矩形元空间59

2.4.1 Lagrange型元59

2.4.2 Hermite型元61

2.5 三角形元空间63

2.5.1 面积坐标及有关公式64

2.5.2 Lagrange型元65

2.5.3 Hermite型元66

2.6 曲边元和等参变换68

2.7 二阶椭圆型方程的有限元法73

2.7.1 有限元方程的形成73

2.7.2 矩阵元素的计算74

2.7.3 边值条件的处理75

2.7.4 举例：Poisson方程的有限元法79

2.7.5 数值例子82

2.8 收敛阶的估计83

第三章 椭圆型方程的有限差分法88

3.1 差分逼近的基本概念88

3.2 两点边值问题的差分格式92

3.2.1 直接差分化92

3.2.2 有限体积法95

3.2.3 待定系数法与变分差分法97

3.2.4 边值条件的处理99

3.3 二阶椭圆型方程的差分格式100

3.3.1 五点差分格式101

3.3.2 边值条件的处理104

3.3.3 极坐标形式的差分格式106

3.4 极值定理 敛速估计108

3.4.1 一般二阶差分方程108

3.4.2 极值定理111

3.4.3 五点格式的敛速估计112

3.5 先验估计114

3.5.1 差分公式114

3.5.2 若干不等式116

3.5.3 先验估计117

3.5.4 解的存在唯一性及敛速估计119

3.6 有限体积法120

3.6.1 三角网的差分格式121

3.6.2 有限体积法125

3.7 数值例子130

第四章 离散化方程的解法133

4.1 基本迭代法133

4.1.1 离散方程的基本特征133

4.1.2 一般迭代法136

4.1.3 SOR法（超松弛法）138

4.1.4 预处理迭代法139

4.2 交替方向迭代法141

4.2.1 二维交替方向迭代141

4.2.2 三维交替方向迭代144

4.3 预处理共轭梯度法146

4.3.1 共轭梯度法146

4.3.2 预处理共轭梯度法148

4.4 数值例子151

4.5 多重网格法152

4.5.1 二重网格法：差分形式152

4.5.2 二重网格法：有限元形式155

4.5.3 多重网格法和套迭代技术157

4.5.4 推广到多维问题159

第二部分 初值问题163

第五章 抛物型方程的差分法和有限元法163

5.1 最简差分格式163

5.2 稳定性与收敛性169

5.2.1 稳定性概念169

5.2.2 判别稳定性的直接估计法（矩阵法）171

5.2.3 收敛性和误差估计173

5.2.4 数值例子174

5.3 Fourier方法177

5.4 判别稳定性的代数准则181

5.5 应用：含对流项的抛物型方程187

5.6 变系数抛物型方程191

5.7 分数步长法195

5.7.1 ADI法195

5.7.2 预—校法198

5.7.3 LOD法199

5.8 数值例子200

5.9 有限体积法201

5.10 有限元法203

第六章 双曲型方程的有限差分法206

6.1 波动方程的差分逼近206

6.1.1 波动方程及其特征206

6.1.2 显格式207

6.1.3 稳定性分析209

6.1.4 隐格式212

6.1.5 数值例子213

6.1.6 强迫振动213

6.2 一阶双曲型方程组215

6.2.1 线性双曲型方程组 特征概念215

6.2.2 Cauchy问题 依存域 影响域 决定域218

6.2.3 初边值问题219

6.2.4 拟线性双曲型方程组220

6.2.5 一维不定常流222

6.3 初值问题的差分逼近225

6.3.1 迎风格式225

6.3.2 积分守恒差分格式228

6.3.3 黏性差分格式230

6.4 初边值问题和对流占优扩散方程的差分逼近234

6.4.1 初边值问题234

6.4.2 对流占优扩散方程235

6.4.3 数值例子237

6.5 Godunov格式 守恒型格式 单调格式239

6.5.1 Godunov格式240

6.5.2 守恒型格式242

6.5.3 单调格式244

6.6 有限体积法246

名词索引249

主要参考文献253