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第1章 复数与复变函数1

1.1复数及其代数运算1

1.1.1复数的概念1

1.1.2复数的代数运算2

1.2复数的向量表示与三角表示6

1.2.1复平面6

1.2.2黎曼球面与扩充复平面10

1.3复数的乘幂与方根13

1.3.1乘积与商13

1.3.2复数的乘方与开方16

1.4复平面上的区域19

1.4.1区域19

1.4.2单连通区域和多连通区域20

1.5复变函数22

1.5.1复变函数的概念22

1.5.2映射的概念23

1.6复变函数的极限与连续性26

1.6.1复变函数的极限26

1.6.2复变函数的连续性29

习题一30

第2章 解析函数35

2.1解析函数35

2.1.1复变函数的导数与微分35

2.1.2解析函数38

2.2函数解析的充要条件40

2.2解析函数与调和函数的关系45

2.2.1调和函数的概念45

2.2.2解析函数与调和函数的关系45

2.3初等函数49

2.3.1指数函数49

2.3.2对数函数50

2.3.3幂级数51

2.3.4三角函数52

2.3.5双曲函数53

2.3.6反三角函数与反双曲函数54

习题二55

第3章 复变函数的积分59

3.1复变函数积分的概念及性质59

3.1.1复变函数积分的定义及其计算60

3.1.2复变函数积分的性质64

3.2柯西（Cauchy）积分定理66

3.2.1柯西积分定理66

3.2.2复合闭路定理68

3.3复变函数的不定积分70

3.4柯西积分公式73

3.5解析函数的高阶导数75

习题三78

第4章 级数82

4.1复数项级数82

4.1.1复数列的极限82

4.1.2复数项级数84

4.2幂级数87

4.2.1基本概念87

4.2.2幂级数的收敛域结构88

4.2.3幂级数的运算和性质92

4.3泰勒（Taylor）级数95

4.3.1泰勒定理95

4.3.2初等函数的泰勒展开式97

4.4罗朗（Laurent）级数100

4.4.1罗朗级数及其收敛性100

4.4.2解析函数的罗朗展开101

习题四107

第5章 留数及其应用111

5.1孤立奇点111

5.1.1孤立奇点的分类111

5.1.2函数的零点与极点的关系114

5.2留数116

5.2.1留数概念与留数定理116

5.2.2函数在奇点处的留数计算方法118

5.2.3函数在无穷远点处的留数计算方法121

5.3应用留数计算实积分125

5.3.1形如∫2π0R（cosθ， sinθ） dθ的积分125

5.3.2形如∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx的积分128

5.3.3形如∫+∞-∞P（x）/Q（x）eaix dx （a ＞ 0）的积分129

习题五132

第6章 共形映射135

6.1共形映射的概念135

6.1.1导数的几何意义135

6.1.2共形映射138

6.2分式线性映射139

6.2.1分式线性映射的定义139

6.2.2分式线性映射的分解140

6.2.3分式线性映射的性质142

6.2.4三类典型的分式线性映射146

6.3几个初等函数所确定的映射151

6.3.1幂函数w=zn（n≥2）确定的映射151

6.3.2指数函数w=ez所确定的映射154

习题六157

第7章 傅里叶变换159

7.1傅里叶积分159

7.1.1周期函数的傅里叶级数159

7.1.2非周期函数的傅里叶积分公式161

7.2傅里叶变换164

7.2.1傅里叶变换及傅里叶逆变换164

7.2.2单位脉冲函数及其傅里叶变换166

7.3傅里叶变换的性质169

7.4卷积定理与相关函数172

7.4.1卷积定理172

7.4.2相关函数174

7.5傅里叶变换的应用175

7.5.1傅里叶变换在解微分、积分方程中的应用175

7.5.2傅里叶变换在解数学物理方程中的应用177

习题七181

第8章 拉普拉斯变换185

8.1拉普拉斯变换的概念185

8.1.1拉普拉斯变换185

8.1.2拉普拉斯变换的存在定理186

8.1.3单位脉冲函数8（t）的拉氏变换187

8.2拉氏变换的性质189

8.3拉氏逆变换197

8.4拉氏变换的应用200

8.4.1常微分、积分方程或方程组的求解200

8.4.2数学物理方程的求解204

习题八211

附录216

附表1傅氏变换简表216

附表2拉氏变换简表221

参考文献227