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第1章 集合、映射与运算1

1.1 集合的有关概念1

1.1.1 集合1

1.1.2 子集3

1.1.3 幂集4

1.1.4 n元组4

1.1.5 笛卡儿积5

习题1.15

1.2 映射的有关概念6

1.2.1 映射的定义6

1.2.2 映射的性质8

1.2.3 逆映射9

1.2.4 复合映射10

习题1.212

1.3 运算的定义及性质13

1.3.1 运算的定义13

1.3.2 运算的性质16

习题1.321

1.4 集合的运算22

1.4.1 并运算22

1.4.2 交运算22

1.4.3 补运算24

1.4.4 差运算25

1.4.5 对称差运算26

习题1.427

1.5 集合的划分与覆盖28

1.5.1 集合的划分29

1.5.2 集合的覆盖30

习题1.531

1.6 集合的对等31

1.6.1 集合对等的定义31

1.6.2 无限集合32

1.6.3 集合的基数32

1.6.4 可数集合33

1.6.5 不可数集合33

1.6.6 基数的比较34

习题1.634

本章小结35

第2章 关系37

2.1 关系的概念37

2.1.1 n元关系的定义37

2.1.2 2元关系38

2.1.3 关系的定义域和值域41

2.1.4 关系的表示42

2.1.5 函数的关系定义43

习题2.144

2.2 关系的运算46

2.2.1 关系的集合运算46

2.2.2 关系的逆运算46

2.2.3 关系的复合运算47

2.2.4 关系的其他运算50

习题2.251

2.3 关系的性质51

2.3.1 自反性51

2.3.2 反自反性52

2.3.3 对称性53

2.3.4 反对称性54

2.3.5 传递性55

习题2.357

2.4 关系的闭包58

2.4.1 自反闭包r（R）58

2.4.2 对称闭包s（R）59

2.4.3 传递闭包t（R）60

习题2.463

2.5 等价关系64

2.5.1 等价关系的定义64

2.5.2 等价类65

习题2.567

2.6 相容关系68

2.6.1 相容关系的定义68

2.6.2 相容类69

习题2.670

2.7 偏序关系70

2.7.1 偏序关系的定义70

2.7.2 偏序集的哈斯图72

2.7.3 偏序集中的特殊元素73

习题2.775

本章小结76

第3章 命题逻辑79

3.1 命题的有关概念79

习题3.181

3.2 逻辑联结词81

3.2.1 否定联结词？p82

3.2.2 合取联结词p∧q82

3.2.3 析取联结词p∨q82

3.2.4 异或联结词p？q83

3.2.5 条件联结词p→q83

3.2.6 双条件联结词p？q84

3.2.7 与非联结词p↑q84

3.2.8 或非联结词p↓q85

3.2.9 条件否定联结词p？q85

习题3.285

3.3 命题公式及其真值表85

3.3.1 命题公式的定义85

3.3.2 命题的符号化86

3.3.3 命题公式的真值表87

3.3.4 命题公式的类型88

习题3.389

3.4 逻辑等值的命题公式90

3.4.1 逻辑等值的定义90

3.4.2 基本等值式91

3.4.3 等值演算法93

3.4.4 对偶原理94

习题3.494

3.5 命题公式的范式95

3.5.1 命题公式的析取范式及合取范式96

3.5.2 命题公式的主析取范式及主合取范式98

习题3.5104

3.6 联结词集合的功能完备性105

3.6.1 联结词的个数105

3.6.2 功能完备联结词集106

习题3.6108

3.7 命题逻辑中的推理108

3.7.1 推理形式有效性的定义108

3.7.2 基本推理规则110

3.7.3 命题逻辑的自然推理系统111

习题3.7114

本章小结115

第4章 谓词逻辑118

4.1 个体、谓词、量词和函词118

4.1.1 个体118

4.1.2 谓词119

4.1.3 量词119

4.1.4 函词121

习题4.1121

4.2 谓词公式及命题的符号化122

4.2.1 谓词公式122

4.2.2 命题的符号化122

习题4.2124

4.3 谓词公式的解释及类型126

4.3.1 谓词公式的解释126

4.3.2 谓词公式的类型127

习题4.3127

4.4 逻辑等值的谓词公式129

4.4.1 谓词公式等值的定义129

4.4.2 基本等值式129

习题4.4131

4.5 谓词公式的前束范式131

4.5.1 谓词公式的前束范式的定义131

4.5.2 谓词公式的前束范式的计算132

习题4.5132

4.6 谓词逻辑中的推理133

4.6.1 逻辑蕴涵式133

4.6.2 基本推理规则133

4.6.3 谓词逻辑的自然推理系统134

习题4.6136

本章小结137

第5章 代数结构140

5.1 代数结构简介140

5.1.1 代数结构的定义140

5.1.2 两种最简单的代数结构：半群及独异点141

5.1.3 子代数142

5.1.4 代数结构的同态与同构142

习题5.1144

5.2 群的定义及性质145

5.2.1 群的有关概念146

5.2.2 子群148

5.2.3 群的同态148

习题5.2149

5.3 环和域150

5.3.1 环的定义150

5.3.2 几种特殊的环150

5.3.3 域的定义152

5.3.4 有限域152

习题5.3153

5.4 格与布尔代数154

5.4.1 格的定义和性质155

5.4.2 分配格158

5.4.3 有补格158

5.4.4 布尔代数160

习题5.4162

本章小结163

第6章 图论165

6.1 图的基本概念165

6.1.1 图的定义165

6.1.2 邻接167

6.1.3 关联167

6.1.4 简单图167

习题6.1168

6.2 节点的度数169

习题6.2171

6.3 子图、图的运算和图同构171

6.3.1 子图171

6.3.2 图的运算173

6.3.3 图同构173

习题6.3174

6.4 路与回路175

6.4.1 路175

6.4.2 回路176

习题6.4176

6.5 图的连通性177

6.5.1 无向图的连通性177

6.5.2 无向连通图的点连通度与边连通度178

6.5.3 有向图的连通性180

习题6.5181

6.6 图的矩阵表示182

6.6.1 图的邻接矩阵182

6.6.2 图的可达矩阵183

6.6.3 图的关联矩阵184

习题6.6185

6.7 赋权图及最短路径186

6.7.1 赋权图186

6.7.2 最短路径186

习题6.7188

本章小结189

第7章 几类特殊的图191

7.1 欧拉图191

7.1.1 欧拉图的有关概念191

7.1.2 欧拉定理191

7.1.3 中国邮递员问题192

习题7.1193

7.2 哈密尔顿图194

7.2.1 哈密尔顿图的有关概念194

7.2.2 哈密尔顿图的必要条件195

7.2.3 哈密尔顿图的充分条件195

7.2.4 旅行商问题197

习题7.2197

7.3 无向树198

7.3.1 无向树的定义198

7.3.2 无向树的性质199

7.3.3 生成树200

7.3.4 最小生成树201

习题7.3202

7.4 有向树202

7.4.1 有向树的定义203

7.4.2 根树203

7.4.3 m叉树204

7.4.4 有序树206

7.4.5 定位二叉树207

习题7.4209

7.5 平面图210

7.5.1 平面图的有关概念211

7.5.2 欧拉公式212

7.5.3 库拉托夫斯基定理212

7.5.4 平面图的对偶图213

习题7.5214

7.6 平面图的面着色215

7.6.1 平面图的面着色定义215

7.6.2 图的节点着色216

7.6.3 任意图的边着色217

习题7.6218

7.7 二部图及其匹配218

7.7.1 二部图218

7.7.2 匹配219

习题7.7220

本章小结221

第8章 组合计数223

8.1 计数原理、排列组合与二项式定理223

8.1.1 计数原理223

8.1.2 排列224

8.1.3 组合225

8.1.4 二项式定理226

习题8.1226

8.2 生成函数227

8.2.1 组合计数生成函数227

8.2.2 排列计数生成函数229

习题8.2230

8.3 递归关系231

8.3.1 递归关系的概念231

8.3.2 常用的递归关系求解方法232

习题8.3237

本章小结237

附录A 符号索引239

附录B 中英文名词索引242

附录C 习题答案及提示247

参考文献270