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第1章 引论1

1.1 误差的来源1

1.1.1 舍入误差1

1.1.2 截断误差2

1.2 误差的传播4

1.2.1 尽量避免两个相近的数相减4

1.2.2 防止接近零的数做除数6

1.2.3 防止大数吃小数6

1.2.4 简化计算步骤，减少运算次数6

1.3 数值算法的稳定性7

第2章 线性方程组的解法11

2.1 Gauss消顺序消去法11

2.2 Gauss列主元消去法13

2.3 Gauss-Jordan消去法15

2.4 LU分解法17

2.5 平方根法19

2.6 改进的平方根法22

2.7 追赶法24

2.8 QR分解法26

2.9 方程组的性态与误差分析29

2.9.1 误差分析29

2.9.2 迭代改善31

2.10 Jacobi迭代法33

2.11 Gauss-Seidel迭代法35

2.12 松弛迭代法38

2.13 迭代法的收敛性分析40

第3章 函数的插值46

3.1 Lagrange插值46

3.2 牛顿插值49

3.3 Hermite插值52

3.4 分段三次Hermite插值55

3.5 三次样条插值函数61

3.5.1 紧压样条插值函数61

3.5.2 端点曲率调整样条插值函数66

3.5.3 非节点样条插值函数71

3.5.4 周期样条插值函数76

3.5.5 MATLAB的内置三次样条插值函数简介79

第4章 函数的逼近83

4.1 最佳一致逼近多项式83

4.2 近似最佳一致逼近多项式87

4.3 最佳平方逼近多项式90

4.4 用正交多项式作最佳平方逼近多项式93

4.4.1 用Legendre多项式作最佳平方逼近多项式93

4.4.2 用Chebyshev多项式作最佳平方逼近多项式96

4.5 曲线拟合的最小二乘法99

4.5.1 线性最小二乘拟合99

4.5.2 用正交多项式作最小二乘拟合103

4.5.3 非线性最小二乘拟合举例105

4.6 Pade有理逼近108

第5章 数值积分115

5.1 复合求积公式115

5.1.1 复合梯形公式115

5.1.2 复合Simpson公式118

5.1.3 复合Cotes公式119

5.2 变步长的求积公式121

5.2.1 变步长的梯形公式121

5.2.2 变步长的Simpson公式122

5.2.3 变步长的Cotes公式123

5.3 Romberg积分法124

5.4 自适应积分法127

5.5 Gauss求积公式129

5.5.1 Gauss-Legendre求积公式129

5.5.2 Gauss-Chebyshev求积公式131

5.5.3 Gauss-Laguerre求积公式133

5.5.4 Gauss-Hermite求积公式135

5.6 预先给定节点的Gauss求积公式137

5.6.1 Gauss-Radau求积公式137

5.6.2 Gauss-Lobatto求积公式138

5.7 二重积分的数值计算140

5.7.1 复合Simpson公式140

5.7.2 变步长的Simpson公式144

5.7.3 复合Gauss公式147

5.8 三重积分的数值计算149

第6章 数值优化155

6.1 一元函数的极小值155

6.1.1 黄金分割搜索法155

6.1.2 Fibonacci搜索法157

6.1.3 二次逼近法159

6.1.4 三次插值法161

6.1.5 牛顿法162

6.2 Nelder-Mead方法164

6.3 最速下降法166

6.4 牛顿法169

6.5 共轭梯度法170

6.6 拟牛顿法173

6.6.1 DFP法173

6.6.2 BFGS法176

6.7 模拟退火算法179

6.8 遗传算法181

第7章 矩阵特征值与特征向量的计算190

7.1 上Hessenberg矩阵和QR分解190

7.1.1 化矩阵为上Hessenberg矩阵190

7.1.2 矩阵的QR分解192

7.2 乘幂法与反幂法193

7.2.1 乘幂法193

7.2.2 反幂法195

7.2.3 移位反幂法196

7.3 Jacobi方法198

7.4 对称QR方法201

7.5 QR方法203

7.5.1 上Hessenberg的QR方法203

7.5.2 原点移位的QR方法204

7.5.3 双重步QR方法207

第8章 非线性方程求根211

8.1 迭代法211

8.2 迭代法的加速收敛214

8.2.1 Aitken加速法214

8.2.2 Steffensen加速法215

8.3 二分法217

8.4 试位法219

8.5 牛顿-拉夫森法220

8.6 割线法225

8.7 改进的牛顿法228

8.8 Halley法233

8.9 Brent法236

8.10 抛物线法240

第9章 非线性方程组的数值解法245

9.1 不动点迭代法245

9.2 牛顿法247

9.3 修正牛顿法250

9.4 拟牛顿法252

9.4.1 Broyden方法252

9.4.2 DFP方法255

9.4.3 BFS方法258

9.5 数值延拓法260

9.6 参数微分法263

第10章 常微分方程初值问题的数值解法266

10.1 Euler方法266

10.1.1 Euler方法266

10.1.2 改进的Euler方法269

10.2 Runge-Kutta方法271

10.2.1 二阶Runge-Kutta方法272

10.2.2 三阶Runge-Kutta方法274

10.2.3 四阶Runge-Kutta方法276

10.3 高阶Runge-Kutta方法279

10.3.1 Kutta-Nystr？m五阶六级方法279

10.3.2 Huta六阶八级方法281

10.4 Runge-Kutta-Fehlberg方法284

10.5 线性多步法288

10.6 预测-校正方法293

10.6.1 四阶Adams预测-校正方法293

10.6.2 改进的Adams四阶预测-校正方法295

10.6.3 Hamming预测-校正方法298

10.7 变步长的多步法302

10.8 Gragg外推法305

10.9 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法310

10.9.1 常微分方程组的数值解法311

10.9.2 高阶微分方程的数值解法315

第11章 常微分方程边值问题的数值解法317

11.1 打靶法317

11.1.1 线性边值问题的打靶法317

11.1.2 非线性边值问题的打靶法319

11.2 有限差分法323

11.2.1 线性边值问题的差分方法323

11.2.2 非线性边值问题的差分方法327

第12章 偏微分方程的数值解法331

12.1 椭圆型方程331

12.2 抛物型方程336

12.2.1 显式向前Euler方法337

12.2.2 隐式向后Euler方法339

12.2.3 Crank-Nicholson方法340

12.2.4 二维抛物型方程344

12.3 双曲型方程348

12.3.1 一维波动方程348

12.3.2 二维波动方程352

程序索引356

参考文献360